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$(\lambda_{n})_{n \in \mathbb{N}}$为$\tan(x)=x$的非零根，则$\displaystyle
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}} = \frac{1}{10}$
证明：
$\tan(x)=x\iff$
$$\sin(x)=x\cos(x)$$
在0处展开
$$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=x-\frac{x^3}{2!}+\frac{x^5}{4!}-\cdots$$
即
$$x^3\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{2!}\right)-x^5\left(\frac{1}{5!}-\frac{1}{4!}\right)+x^7\left(\frac{1}{7!}-\frac{1}{6!}\right)+\cdots=0$$
设$x\ne 0$，约去$x^3$得
$$\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{2!}\right)-x^2\left(\frac{1}{5!}-\frac{1}{4!}\right)+x^4\left(\frac{1}{7!}-\frac{1}{6!}\right)-\cdots=0$$
用韦达定理
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}^{2}} =\frac{\frac{1}{5!}-\frac{1}{4!}}{\frac{1}{3!}-\frac{1}{2!}}=\frac1{10}\]
证毕。
类似可证，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda_{n}}=\frac10=\infty$
MSE |
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