求射影变换 交换两对直线

hbghlyj

给定任意4条直线AB、AC、BC、DE
求一个射影变换 交换AB和AC 且交换BC和DE

构造如下： 平面上任意点P， CP、AF交于H， EP、AF交于I， DH、BI交于Q， 则P到Q的变换满足要求

证明：
当P在BC上时，H=F，所以Q在DE上。
当P在DE上时，I=F，所以Q在BC上。
当P在AB上时，由帕普斯定理，Q在AC上。
当P在AC上时，由帕普斯定理，Q在AB上。

从证明看出，上面的对合轴AF可以是过F的任意直线，不必过A。

hbghlyj

给定两条二次曲线， 如何作一个射影变换 交换它们？

hbghlyj

想到一种方法：

设两条二次曲线$\mathcal C_1,\mathcal C_2$交于A、B、C、D 平面上任意点P， AP、$\mathcal C_1$交于E， BP、$\mathcal C_1$交于F， DE、$\mathcal C_2$交于E'， DF、$\mathcal C_1$交于F'， AE'、BF'交于Q， 则P到Q的变换将$\mathcal C_1$映射到$\mathcal C_2$

证明：当 $P\in\mathcal C_1$ 时 $P=E=F$，故$Q=E'=F'\in\mathcal C_2$.

但$\mathcal C_2$不会映射到$\mathcal C_1$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-3-27 10:10
给定两条二次曲线， 如何作一个射影变换 交换它们？

这个还是没想出啊