动度法

hbghlyj

参考资料:
英文原文章
GeoGebra paper
以下内容转载自:
纯几何吧4927
零、前言
该方法的主要思想：计算法用的多的同学可能知道，绝大多数平面几何题的实质就是一个多项式函数化简后为0，这时如果我们估出这个多项式最高的可能次数n，再找n+1个零点（对应回原几何题就是找n+1个可能的特例，而特例大多是好证明的），那么就能这个多项式恒为0，即证明了该问题。
这个方法相当于计算机解决几何问题方法的一个可使用版本。


一、空间
首先定义射影平面：在普通的平面上各个方向上添加一个无穷远点，再定义一条无穷远直线，其经过所有无穷远点。这样平面上任意两条直线都有且只有一个交点。


考虑一个寻常的三维空间与空间中的一个点O，记P是所有经过O的直线构成的集合，Q是所有经过Q的平面构成的集合。我们说，这些直线与射影平面上的点类似、这些平面与射影平面上的直线类似。不严格的说：


P中任意两个直线都恰构成一个Q中平面；
任两个Q中任意两个平面都交出一条P中的直线。


就好比射影平面中：


任意两个点都唯一确定一条直线；
任意两个直线都有唯一交点。


我们可以清晰的看到：上述空间中的直线与射影平面中的点有对应关系；上述空间中的平面与射影空间中的直线有对应关系。


我们严格来叙述一下这个对应：
考虑空间中射影平面ω：z=1，P中直线与ω恰有一个交点、对ω中任一个点A，对应AO这个P中的直线。特别的，对于ω中的无穷远点B，对应过O的与B同向且与ω平行的直线
Q中平面与ω恰交出一条直线，ω上面的任一条直线l与O恰形成一个平面，注意到ω上无穷远直线对应平面z=0。


对于P中的直线，可以用该直线上的一点表示，如（a，b，c）为直角坐标系上的一点X，其代表直线OX，注意到（a，b，c）与（λa，λb，λc）所代表直线相同。
对于Q中的平面，可以用ax+by+cz=0表示，故可以用（a，b，c）表示该平面，同时也有：（a，b，c）与（λa，λb，λc）所代表平面相同，其中λ≠0.
则（a，b，c）可以代表平面ω上一点，也可以代表一条直线。
其中a,b,c不全为0。

二、动态过程的描述
首先先对动点做出定义：
$\mathbb R∪\{∞\}→\mathbb{RP}^2$（也就是射影平面z=1）
t→(P(t)，Q(t)，R(t))
其中P、Q、R为多项式，且三个多项式没有公共根，t=∞时由连续性定义。
(P(t)，Q(t)，R(t))代表ω上的一个点。
同样的，如果是将(P(t)，Q(t)，R(t))代表ω上的一条直线，可以得到动直线的定义。

下面引入关键定义：
称一个点的动度为该点所表达的(P(t)，Q(t)，R(t))中P、Q、R三个多项式中最大的次数
不难发现定点的动度为0。记点/线k的动度为deg(k)

在此先说明动态方法的解题过程
1.选择图中一点T，让它在其所在的直线上动起来。
2.点T在直线上动，形成了一个原像，我们考虑图中其他点随着T的移动而移动，也构成了动点，部分可以用三个多项式表达，从而产生了动度
3.通过图中动点的关系，计算图中每一个点的动度
4.考虑最终要证明的问题，并把其化做一个关于动度的问题。(比如要证明点S为定点，则需要证明S度数为0)
5.如果最终的命题是一个动度为d的命题，则找d+1个特例(例如算出S点动度为d，那么找d+1个T点的特殊情况，并证明之)
6.由代数基本定理，d次多项式有d+1个零点，则其恒为0

现在我们需要一些工具来计算图中每个点的动度，下面介绍一些定理来计算点的动度。


三、动度定理
[3.1]
（1）如果动点A、B重合k次，那么直线AB的动度至多为deg(A)+deg(B)-k
（2）类似的，如果动直线l₁、l₂重合k次，则l₁、l₂交点的动度至多为deg（l₁）+deg（l₂）-k
证明：
令A=（P₁（t），Q₁（t），R₁（t））、B=（P₂（t），Q₂（t），R₂（t））
能够计算出直线AB=（Q₁（t）R₂（t）-Q₂（t）R₁（t），_，_）
设t=t₀时AB重合，那么Q₁（t₀）R₂（t₀）-Q₂（t₀）R₁（t₀）=0，则x-t₀为Q₁（t）R₂（t）-Q₂（t）R₁（t）的根，一共k个这样的t₀，故AB表达式可约去k次式，AB动度至多为deg(A)+deg(B)-k。另一种情况类似。


不过我们要注意，如果使用动态过程来解题的时候，我们在选去d+1个特殊情况时候，需要注意到不能够出现在使用动度定理时省去的重合点。这样说很抽象，我举个例子：AB重合过一次，A、B的动度均为1，我们想证明直线AB为定直线，根据动度定理，AB的动度不超过deg(A)+deg(B)-k=1+1-1=1，因此我们要选两个特殊情况，而这两个特殊情况不能发生AB重合，因为这个情况是动度定理中依据多项式除法排除的，这种情况是无意义的。


[3.2]
设φ：Γ₁→Γ₂为一个射影变换，其中Γ₁、Γ₂为直线或者圆周，L为Γ₁上一点，且具有动度d，则有
（i） Γ₁、Γ₂同为直线或圆周，deg(φ（L）)=d
（ii） Γ₁为直线，Γ₂为圆周，deg(φ（L）)=2d
（iii） Γ₁为圆周，Γ₂为直线，deg(φ（L）)=d/2
[3.3]
设P、Q、R有动度a、b、c，则“P、Q、R共线”的动度为a+b+c
注1：这里所有的公式仅仅是翻译原文中所拥有的，之后会补充很多其他的动度计算公式。
注2：计算略去，以后有心情可能会开一楼写证明。


四、更多变换下的动度计算
[4.0]两个不变
[4.0.1]伸缩坐标轴不改变动度
[4.0.2] 变换xyz轴的方向不增加动度
[4.1]旋转与对称
[4.1.1]不同点A、B：动点A的动度是a，动点B的动度是b，C为A关于B顺时针旋转θ得到的点，则点C的动度至多为a+b
[4.1.2]动点A的动度是a，动直线l的动度是x，B为A关于l的对称点，则B点动度至多为a+2x
[4.2]定比分点
[4.2.1]实系数比
不同点A、B：动点A的动度是a，动点B动度是b， C为直线AB上的一点使得向量AC＋λ向量BC=0，其中λ为定实数，则C点的动度至多为a+b
[4.2.2]复系数比
不同点A、B：动点A的动度是a，动点B动度是b，以该平面构建复平面，点A对应复数A，点B对应复数B，C为平面上一点使得（C-A）+λ（C-B）=0，其中点C对应复数C且λ为定复数，则点C的动度至多为a+b
[4.3]平行线与垂线
[4.3.1]平行线
动点A的动度是a，动直线l的动度是x，l’为过A且平行于l的直线，则l’的动度至多为a+x
[4.3.2]垂线
动点A的动度是a，动直线l的动度是x，l’为过A且垂直于l的直线，则l’的动度至多为a+x
[4.4]反演
动点A动度是a，关于定圆反演得点B，则点B动度为2a
[4.5]极点与极线
关于定圆互极的点线对的动度一样
[4.6]结论判定
[4.6.1]点重合
动点A的动度是a，动点B动度是b，则“A、B重合” 的动度为a+b
[4.6.2]点在线上
动点A的动度是a，动直线l的动度是x，则“A在l上”的动度为a+2x
[4.6.3]线重合
动直线l₁的动度是x1，动直线l₂的动度是x2，则“l₁、l₂重合”的动度为max{a，b}
[4.6.4]四点共圆
动点A、B、C、D的动度分别为a、b、c、d，则“ABCD共圆”的动度为2(a+b+c+d)
[4.7]动度为2的点轨迹是二次曲线




五、动态过程证明几何题的例子
[6.1]帕普斯定理
两异直线l₁、l₂上分别依次有三个点A₁、B₁、C₁与A₂、B₂、C₂，A₁B₂∩A₂B₁=Z，
B₁C₂∩B₂C₁=X，A₁C₂∩A₂C₁=Y。证明：XYZ共线。

证明：
[动度计算]
让A₁在直线l₁上动起来，其动度为1，有B₁、C₁、A₂、B₂、C₂、X为定点，动度为0，由他们组成的直线动度为0。因为A₁动度为1，B₂动度为0，故直线A₁B₂动度为1，又A₂B₁动度为0，故其交点Z动度为1，同理Y动度为1.“XYZ共线”动度至多0+1+1=2
故需要找到三个特例。


[特例研究]
(1)A₁与B₁重合，则Z与B₁重合，Y=A₂C₁∩B₁C₂，有XYZ共B₁C₂
(2)A₁与C₁重合，与情况一同理
(3)A₁与P重合（若l₁与l₂平行，则A₁变动到无穷远点），YZ重合与A₂，XYZ共A₂X
故证毕。


[6.2]帕斯卡定理
圆周上顺时针依次排列六个点ABCDEF，AE∩BF=X、BD∩CE=Z、AD∩CF=Y，有XYZ共线。

证明：
[动度计算]
让A在圆周上动起来，其动度为1，则由[3.2]直线EA与DA的动度均为1（注记：由[3.1]在最终特例中，A不能取E、D两点）则X、Y度数均为1，则“XYZ共线”度数至多为1+1+0=2，故需要寻找三个特例。


[特例证明]
（1） A→F，XYZ共FZ
（2） A→B，XYZ共BD
（3） A→C，XYZ共CE
故证毕

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[6.3] Kariya定理
三角形ABC内心为I，内切圆与AB、BC、CA切于F、D、E。取X、Y、Z为射线ID、IE、IF上的点使得IX=IY=IZ。证明：AX、BY、CZ共点

证明：
[动度计算]
这道题虽说X是在射线ID上的，但我们说X在直线ID上也行，对此只需扩展定义，考虑三条有向的轴ID、IE、IF，他们以I为原点、ID为单位长，分别以ID、IE、IF为正方向，X为轴ID上的一个点，Y、Z在IE、IF上使得Y、Z在其所在轴上对应数与X在ID轴上对应数相等。为了寻找更好的特例，这一过程在使用动态方法中很常见
让X在ID上动起来，点X度数为1，顺应的，由[4.1.1]：Y、Z动度也为1，AX、BY、CZ动度均为1，“AX、BY、CZ共线”的动度为3，因此我们需要选择四个特例来解决


[特例证明]
（1） X→I，三线均过I
（2） 设ID与AC交于T，X→T，由对称性知Y在BC上，故三点共C
（3）（4）同理可让三点共A、B
证毕。


[补充说明]设AX与BY相交于点P，由动度分析我们知道P的动度至多为2，由[4.7],P的轨迹为二次曲线或其退化，又在证明中特例的基础上取X至无穷远点，P则变为三角形ABC垂心；取X→D，P为三角形ABC的Gergonne点。因此人们定义P为广义Gergonne点，我们轻松得到其轨迹为费尔巴哈双曲线。

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2015_USATST_Pro6
ABC是非等边三角形，S为其Euler线上的一点。M_a，M_b，M_c分别为BC，CA，AB中点。M_aS，M_bS，M_cS分别与三角形ABC九点圆交于X，Y，Z。证明：AX，BY，CZ共点。

证明：
【动度计算】令S在OH上动起来，d(S)=1，由动度定理3.2已知XYZ的动度都是2，命题“AX、BY、CZ重合”的动度是2+2+2=6，故需要找7个特例。


【特例证明】
S在九点圆上，三线交于点S，这给出了两个特例
S在M_bM_c上，三线交于一点B，类似的，这样给出了三个特例
S是三角形重心，三线交于点S，这给出了一个特例
S是OH中点，三线交于垂心H，这给出了一个特例
一共7个特例，证明完毕。


2010_IMO_Pro2
三角形ABC外接圆ω，内切圆⊙I，E在弧BC上，F在线段BC上，满足∠FAC=∠BAE。G为IF中点，D为弧BC中点。证明：EI与DG交点在ω上。

【动度计算】
让F动起来，d(F)=1，有d(E)=2,d(G)=1;d(DG)=1
设DG与ω交于P，有d(P)=2，“EIP共线”的度数是2+2=4
故需要找5个特例


【特例证明】
F取C，P为弧AC中点，同理F取B也可，给出两种特例
取F使得AIF共线，这时P与A重合，给出一种特例
F取BC方向无穷远点，这时E与A重合，P与D重合，给出一种特例
F取三角形ABC关于角A的旁切圆与BC的切点，这时E为伪圆切点，P为弧BAC中点，给出一种特例
一共有5个特例，证毕。




【附】亏格公式
动度为$n$的点的轨迹一定在一条$\left\lceil\frac{\sqrt{16 n+17}-3}{2}\right\rceil$次曲线或退化上。

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2019美国tst p1
三角形ABC中（AB≠AC），M和N分别是边AB和AC的中点。任取一点X使AX是ABC外接圆的切线。定义圆ω_B是过M,B的与XM相切的圆；圆ω_C是过N,C的与XN相切的圆。证明：ω_B与ω_C的交点在直线BC上。

设ω_B和ω_C与BC分别交于P,Q。只需证PQ重合
注意到∠XMP=∠B，∠XNC=180°-∠C
考虑让X在A的切线上动起来d(X)=1
令X关于M顺时针旋转∠B，得到点D，根据4.1.1，d(D)=1
d(MD)=1,又P为MD与BC交点，故d(P)=1
同理d(Q)=1，“PQ重合”动度为2，只需找到3个特例。
X取A，ω_B与ω_C退化为直线AB,AC。P与Q同为BC方向无穷远点。
X取无穷远点，有XP平行于AC，NQ平行于AB，P与Q同为BC中点。
取X使得XMN共线，则有MB=MP，NC=NQ，P与Q同为A到BC投影。

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ericshen.net/handouts/ZG-nuclear.pdf
§9 Introduction to untethered moving points
§9.1 General maps and degree
Definition 9.1 (Moving point)
A moving point is a map
$$
\mathbb{R} \cup\{\infty\} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \quad \text { by } \quad t \rightarrow(P(t): Q(t): R(t))
$$
where $P, Q, R$ are polynomials with no common root, and the image of $t=\infty$ is defined by limits / continuity in $\mathbb{R} \mathbb{P}^{2}$.
Definition 9.2 (Moving line)
A moving line is a map
$$
\mathbb{R} \cup\{\infty\} \rightarrow \mathbb{R} \mathbb{P}^{2} \quad \text { by } \quad t \rightarrow(P(t): Q(t): R(t))
$$
This time, however, each $(P(t): Q(t): R(t))$ refers to the line $P(t) x+Q(t) y+R(t) z=0$. (See $\S 1.4$.)
Definition 9.3 (Degree)
The degree of a moving point or line $(P(t): Q(t): R(t))$ is $\max \{\operatorname{deg} P, \operatorname{deg} Q, \operatorname{deg} R\}$.