凸集、均匀凸空间

hbghlyj

$\|(x,y)\|=\sqrt[p]{|x|^p+|y|^p}$
$p=1$的单位圆盤：

$p=2$的单位圆盤：

$p=6$的单位圆盤：

$p=\infty$的单位圆盤：

它们都是凸集：Minkowski不等式从$\sqrt[p]{|x_1|^p+|y_1|^p}\leqslant1\atop\sqrt[p]{|x_2|^p+|y_2|^p}\leqslant1$推出$\sqrt[p]{\abs{\frac{x_1+x_2}2}^p+\abs{\frac{y_1+y_2}2}^p}\leqslant1$

在$p=1,p=\infty$的情况比较特殊：单位圆包含直线段。
下面会证明，在$p=1,p=\infty$的情况，这个空间不是均匀凸的

hbghlyj

均匀凸空间的定义：$\displaystyle\forall\epsilon>0,\sup_{\substack{\|\mathbf x_1\|\le1,\|\mathbf x_2\|\le1\\\|\mathbf x_1-\mathbf x_2\|\ge\epsilon}}\|\tfrac{\mathbf x_1+\mathbf x_2}2\|<1$
即：$\forall\epsilon>0$，单位圆盤任取两个点$\mathbf x_1,\mathbf x_2$距离$\ge\epsilon$，它们的中点到原点距离最大值小于1。

---

$1<p<\infty$时，$(\mathbb{R}^2,\sqrt[p]{\abs x^p+\abs y^p})$是均匀凸空间：
给定一个$\epsilon>0$，设 $\mathbf x_1,\mathbf x_2$ 在单位圆上运动，它们的距离保持为$\epsilon$，

$\mathbf x_1,\mathbf x_2$的中点到原点距离的最大值是一个小于1的值：$\sqrt[p]{1-(\frac\epsilon2)^p}$
以原点为中心再画一个小圆盤，半径为$\sqrt[p]{1-(\frac\epsilon2)^p}$，那么$\mathbf x_1+\mathbf x_2\over2$总是$\in$小圆盤：

它们的中点到原点距离当$\mathbf{x}_1,\mathbf{x_2}$关于x轴或y轴对称时取得最大值。此时$\mathbf x_1+\mathbf x_2\over2$正好在小圆上：
当$\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$关于y轴对称时它们的x坐标之和为0，y坐标相等，

容易得到：此时它们的x坐标为$\pm\frac{\epsilon}2$，y坐标为$\sqrt[p]{1-(\frac\epsilon2)^p}$
（验证：它们的距离为$\sqrt[p]{\abs{\frac\epsilon2-\frac{-\epsilon}2}^p+\abs{\sqrt[p]{1-(\frac\epsilon2)^p}-\sqrt[p]{1-(\frac\epsilon2)^p}}^p}=\epsilon$，符合要求。）
因此${\mathbf x_1+\mathbf x_2\over2}=\left(0,\sqrt[p]{1-(\frac\epsilon2)^p}\right)$
因此$\mathbf x_1+\mathbf x_2\over2$到原点距离的最大值是一个小于1的值：$\sqrt[p]{1-(\frac\epsilon2)^p}$

---

$p=1,p=\infty$时，$(\mathbb{R}^2,\sqrt[p]{\abs x^p+\abs y^p})$不是均匀凸空间：
对于$\varepsilon<1$，$\mathbf x_1,\mathbf x_2$ 的中点可以在单位圆上，所以它到原点的最大值是1，不小于1。

如果像上面$1<p<\infty$的情况那样，作一个“小圆盤”把$\mathbf{x}_1,\mathbf{x_2}$中点盖住，就会是整个单位圆盤：

hbghlyj

均匀凸空间的性质：在单位圆盤外取一点，单位圆盤中能找到“唯一”最近的点。
显然，只有$1<p<\infty$时才满足这个性质（当$p=1,p=\infty$时，单位圆包含直线段。单位圆盤外一点，到直线段上每个点的距离都相等，所以最近点不唯一）
与上面证明的「只有$1<p<\infty$时才是均匀凸空间」相符。
$p=1$

$p=\infty$

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-4-6 20:06
均匀凸空间的性质：……则K到x的最近点唯一。

这出现在PDF最后的Theorem 4.12，它没写证明呀
如何证明？

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2024-4-7 04:48
这出现在PDF最后的Theorem 4.12，它没写证明呀
如何证明？

我一般叫一致凸.

称赋范线性空间 $X$ 是一致凸的, 当且仅当存在单调递增的连续函数
$$
r:\mathbb R_+\to \mathbb R_+,\quad \{0\}\mapsto \{0\},
$$
使得对单位球内的 $x$ 与 $y$, 总有
$$
\|(x+y)/2\|\leq 1-r(\|x-y\|).
$$
下证明: 给定一致凸空间 $X$ 中的任意真闭凸子集 $K$, 以及任意 $z\in X\setminus K$, 存在唯一的 $y\in K$ 使得 $\|z-y\|$ 取达最小值 $s$.

不妨设 $z=0$. 取 $\{y_n\}_{n\geq 1}\subset K$ 使得 $\|z-y_n\|\to s$. 下证明单位化向量 $x_n=\|y_n\|^{-1}\cdot y_n$ 构成 Cauchy 列. 考虑
$$
x_m+x_n=(|y_m|^{-1}+|y_n|^{-1})(\theta y_m+(1-\theta)y_n),
$$
此处 $\theta \in [0,1]$. 因此
$$
\|(x_m+x_n)/2\|\geq \frac{s}{2|y_m|}+\frac{s}{2|y_n|}.
$$
故
$$
r(\|x_m-x_n\|)\leq 1-\frac{s}{2|y_m|}-\frac{s}{2|y_n|}\to 0.
$$

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-4-7 09:35
我一般叫一致凸.

称赋范线性空间 $X$ 是一致凸的, 当且仅当存在单调递减的连续函数

$r$是递减的，我不明白？
$\|x-y\|$越大，$1-r$越小，$r$越大，所以我覺得$r$递增

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2024-4-7 09:35
下证明单位化向量 $x_n=\|y_n\|^{-1}\cdot y_n$ 构成 Cauchy 列.

接著證明：
由完備性，$x_n$收敛到$x$，
根據$y_n$的定義，$\|y_n\|\to s$，故$y_n$收敛到$sx\in K$，且$\|sx\|=s\lim\|x_n\|=s$，存在性證明完了。
惟一性：依然設$z=0$，設$a,b\in K,a\ne b,\|a\|=\|b\|=s$，則$\|\frac1sa\|=\|\frac1sb\|=1$，
由一致凸空間的定義，$\|\frac{a+b}2\|\le s\left(1-r(\|\frac1sa-\frac1sb\|)\right)<s$.
由凸性$\frac{a+b}2\in K$，由$s$的定義，$\|\frac{a+b}2\|\ge s$，矛盾。
證畢