驻点

溦澜居士

可微函数z＝f（x，y）在R²上只有一个驻点，且这个点是极大值点，那么它一定是最大值点吗

hbghlyj

Is local minimum/maximum necessarily global when it's the only stationary point of a continuous & differentiable function?
对于 $n=1$：你需要 $f \in C^1$（函数不仅是连续的，而且是连续可微的）。（一个反例：$f(x) = e^x - |x + 1|$）

对于 $n>1$ 情况会更复杂。参见 math.tamu.edu/~tom.vogel/gallery/node16.html
**一个具有单一临界点的函数，该临界点是局部最小值但不是全局最小值**

对于单变量函数 $f(x)$，如果 $f$ 在区间 $I$ 上连续，在 $I$ 中只有一个临界点，并且该临界点是局部最小值，那么它就是绝对（或全局）最小值。然而，对于多变量函数，情况就没那么简单了。

设 $f(x, y)=e^{3 x}+y^3-3 y e^x$。该函数在所有 $(x,y)$ 处可微。为了寻找临界点，我们解
\begin{aligned}
& f_x=3 e^{3 x}-3 y e^x=0 \\
& f_y=3 y^2-3 e^x=0
\end{aligned}
唯一解这两个方程的点是 $(0,1)$，并且二阶导数检验表明该点是 $f$ 的局部最小值。然而，$f(0,-3)=-17<f(0,1)=-1$，所以这个局部最小值不是绝对最小值。这里有一张图片：

（我构造这个例子的方式是从 $x^3+y^3-3 x y$ 开始的，它在 $(1,1)$ 处有一个局部最小值，在 $(0,0)$ 处有一个鞍点，然后通过将 $x$ 替换为 $e^x$ 将鞍点送到无穷远处。）

Henry Wente（托莱多大学）给了我一个具有相同性质的多项式：$f(x, y)=x^2+y^2(1+x)^3$，他在 1993 年 3 月的《数学月刊》第 100 卷第 3 期中找到了这个多项式。文章是 Durfee 等人撰写的《Counting Critical Points of Real Polynomials in 2 Variables》，第 255-271 页。