$\sqrt D$的连分数的循环周期问题

睡神

当$D$为非完全平方数时，$\sqrt D$的连分数都可以表示成$[a_0;\overline{a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},2a_0}]$的形式，我们称其为混循环连分数，$\overline{a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1},2a_0}$为其循环部分，循环周期为$n$。

证明或否定：“$n$为奇数”的充要条件为“$D=k^2+1$或$D$为$4k+1$形式的素数，其中$k\in N^*$”。

睡神

$D=k^2+1$这个很容易得证$n=1$，而"$D$为$4k+1$形式的素数"这个怎么处理？

睡神

循环部分具有对称性，即$a_k=a_{n-k},1\le k\le n-1$