设函数 $u:\mathbb{Z}^2\to\mathbb{R}$ 满足均值性质

hbghlyj

设函数 $u:\mathbb{Z}^2\to\mathbb{R}$ 满足均值性质：$\mathbb{Z}^2$ 中任意一点的 $u$ 值等于其相邻点四个值的平均值。
$$
     u(m,n) = \frac{1}{4} \left[ u(m+1,n) + u(m-1,n) + u(m,n+1) + u(m,n-1) \right]
$$如果对于所有 $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$，$|u(m,n)|\le 1$，则 $u$ 为常数。

Czhang271828

原来的问题, 考虑 $\sup f$ 即可.

实际上, $f$ 上有界 (或者下有界) 就行. 考虑图上的随机过程. 记一族 $t$-参数的随机变量 $\{X_t\}_{t\in \mathbb N}$. 由于

• 下一次观测值的条件期望等于本次观测值 ($\mathbb E[f(X_{n+1})\mid f(X_1),\ldots, f(X_n)]=X_n$),
• 所有 $f(X_t)$ 期望有限.
  

从而随机过程 $f(X_t)$ 是离散时间鞅. 依照著名的离散时间鞅的收敛定理, $f(X_t)\to f(X_\infty)$ a.e..

由于 $X_t$ 在每一点处是 infinitely recurrent 的, 从而 $f(X_t)$ 在除去有限个点之外是常数, 因此只能是常数.

青青子衿

这个标题不应该改一下吗？😥
比如“随机过程中的刘维尔定理”

hbghlyj

青青子衿 发表于 2024-10-7 12:24
这个标题不应该改一下吗？😥
比如“随机过程中的刘维尔定理”

可能是2#把题目误解为“随机过程中的刘维尔定理”了，我已根据2#修改了标题。但不知2#的“原来的问题”指什么