正n棱錐 側面的顶角 与 立体角的关系？

hbghlyj

正n (n>2)棱錐各側面的顶角为 $α$ ($0<α<2π/n$)，所围成的立体角 ω 为？

当n=3时，$ω=3 \cos^{-1}(\tan(α/2) \cot(α)) - π$
当n=4时，$ω=$

hbghlyj

$$ω= 2π  - 2n \cot^{-1}\left(\cot(\fracπn)\sqrt{\frac{ \cos(\frac{2 π}n) -1}{ \cos(\frac{2 π}n) -\cos(\alpha)}}\right)$$
对吗

1. Series[2 (Pi - n ArcCot[Sqrt[(-1 + Cos[(2 Pi)/n])/(Cos[(2 Pi)/n] - Cos[α])] Cot[Pi/n]]), {α, 0, 6}]

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ω在$α=0$处的Taylor series为：$$\frac14 α^2 n \cot(\fracπn) -\frac1{192} α^4 n\left(\cos(\frac{2 π}n) - 4\right) \cot(\fracπn) \csc^2(\fracπn)+O(α^6)$$

hbghlyj

如何证明以上公式呢？