$\sin(x)>x(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{\pi})(1-\frac{x}{2\pi})$

hbghlyj

关于这帖的$\sin(x)>x\left(1-\frac{x}{\pi}\right)$，能不能加强为
$$\sin(x)>x\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\qquad\forall x\in(0,\pi)$$

Aluminiumor

联想到了巴塞尔问题，所以是否可以直接用 Weierstrass factorization theorem 分解 $\frac{\sin x}{x}$ 来证明？

hbghlyj

Aluminiumor 发表于 2024-11-25 11:07
用 Weierstrass factorization theorem

如何证明Weierstrass factorization theorem呢

hbghlyj

Aluminiumor 发表于 2024-11-25 11:07
直接用 Weierstrass factorization theorem 分解

扩展复平面 $\mathbb{CP}^1$ 的亚纯函数都是有理函数，这与复平面 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数的情况有显著不同。事实上，复平面 $\mathbb{C}$ 上存在大量的全纯函数——参见 Ahlfors 1953 年的《Complex Analysis》IV 3.3 对它们的分类。