比较概率大小

realnumber

赛满2n-1局的比赛,每局甲赢(乙)的概率为p(p>0.5).这2n-1局中,甲至少赢n局的概率记为P(n),
如何证明P(n+1)$\ge$ P(n).(感觉很显然,局数越多越稳定)
得到这个,大小没试出来$P(n)=\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1+i}^ip^n(1-p)^i=\sum_{i=0}^{n-1}C_{2n-1}^ip^{2n-1-i}(1-p)^i$
$P(n+1)\ge P(n)?$

realnumber

已解,就采用第一个,记1-p=s<0.5
相当于要证
\[1+C_n^1s+.....+C_{2n-2}^{n-1}s^{n-1}\le (1-s) (1+C_{n+1}^1s+....+C_{2n}^ns^n)\]
上面右边-s部分都移到左边,合并一下,两边消去后
相当于要证$C_{2n-1}^{n-1}\le C_{2n}^n(1-s)$



小伙另证,采用第2个表达式,一边乘以(p+(1-p))^2配齐次数展开,消去可得.

爪机专用

失眠回个帖。
考虑递推关系，在 2n+1 局的比赛中，设赛到 2n-1 局时：
甲仅领先一局的概率为 A，
甲仅落后一局的概率为 B，
则甲领先三局或以上的概率为 P(n)-A，这种情况下最后两局无所谓，甲都胜利。
对于领先一局的情况，最后两局甲至少要赢一局。
对于落后一局的情况，最后两局甲都要赢。
综上，有
P(n+1)=P(n)-A+A(1-(1-p)^2)+Bp^2
=P(n)-A(1-p)^2+Bp^2
=P(n)-C(2n-1,n)p^n(1-p)^(n+1)+C(2n-1,n)p^(n+1)(1-p)^n
>P(n).

话说，爪机打公式要多花起码十倍时间，到底有没有方便爪机打数学符号的输入法啊

战巡

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