请教一个三次方程相关的命题

lemondian

若 $x_i(i=1,2,3)$ 是方程 $x^3+a x^2+b x+c=0(a, b, c \inR)$ 的三个实数根，则$$\sqrt[3]{u+x_1}+\sqrt[3]{u+x_2}+\sqrt[3]{u+x_3}=\sqrt[3]{v \pm 3(\sqrt{d})^{\frac{1}{3}}}$$其中$$d=-D=\frac{4\left(a^2-3 b\right)^3-\left(2 a^3-9 a b+27 c\right)^2}{27}$$$$u=\frac{a b-9 c \pm \sqrt{d}}{2\left(a^2-3 b\right)}$$$$v=-\frac{\left(2 a^3-9 a b+27 c\right) \pm 9 \sqrt{d}}{2\left(a^2-3 b\right)} .
$$

ZCos666

这实际上是拉马努金三角恒等式的推广
\[ \sqrt[3]{\cos\dfrac{2\pi}{9}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{4\pi}{9}}+\sqrt[3]{\cos\dfrac{8\pi}{9}}=\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}\left(\sqrt[3]{9}-2\right)} \]

kuing

与这两帖的东东有关：
forum.php?mod=viewthread&tid=5138#pid25073
forum.php?mod=viewthread&tid=8007

lemondian

两位，能证明1#的命题吗？

ZCos666

lemondian 发表于 2025-2-15 20:37
两位，能证明1#的命题吗？

如果你看了3#的两个例子并学会了，就应该能自行验证推广式的正确了😁

lemondian

顶一个