已知数列的前四项为 7，10，16，22，求后续的四项。

TSC999

已知数列的前四项为 7，10，16，22，求后续的四项。据说此题是 1980 年高考数学题之一。
我感觉此题有无穷多个解。举两个例子：
（一）已知 \(a(1)=7，a(2)=10，a(3)=16，a(4)=22\)，则具有递推公式 \(a(n+2)=2a(n)+2\) 的数列能符合前四项要求。
这个数列的通项公式是 \(a(n)=(9*2^\frac{n-1}{2} - 2) Abs[Sin[\frac{nπ}{2}]] + (6*2^\frac{n}{2} - 2) Abs[Cos[\frac{nπ}{2}]]\)。
据递推公式或通项公式可算出该数列的后续四项为 \(a(5)=2×16+2=34，a(6)=2×22+2=46，a(7)=2×34+2=70，a(8)=2×46+2=94\)。

（二）已知 \(a(1)=7，a(2)=10，a(3)=16，a(4)=22\)，则具有通项公式 \(a(n)=1+3×p(n)\) 的数列能符合前四项要求，其中
\(p(n)\) 是第 \(n\) 个质数。据此可算出该数列的后续四项为 \(a(5)=1+3×11=34，a(6)=1+3×13=40，a(7)=1+3×17=52，a(8)=1+3×19=58\)。

还可以举出哪些例子？

kuing

后续四项为 6，6，6，6。

理由：
\[a_n = \left(\left(\left(\left(\left(\left(\frac{377 (n-7)}{5040}-\frac{193}{720}\right) (n-6)+\frac{79}{120}\right) (n-5)-\frac{19}{24}\right) (n-4)-\frac{1}{2}\right) (n-3)+\frac{3}{2}\right) (n-2)+3\right) (n-1)+7\]
的前八项就是 {7, 10, 16, 22, 6, 6, 6, 6}。

isee

绝对不是国内高考

TSC999

有这样一个数列  \(a(n) = \frac{1}{12} n^4 - \frac{4}{3} n^3 +\frac{89}{12} n^2 -\frac{67}{6} n + 12\) 也能满足主帖中的题目要求。

1. Clear["Global`*"];
2. a[n_] := 1/12 n^4 - 4/3 n^3 + 89/12 n^2 - 67/6 n + 12;
3. Do[Print["a(", n, ") = ", a[n]], {n, 1, 12}]

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此数列前 12 项的值为：

a(1) = 7
a(2) = 10
a(3) = 16
a(4) = 22
a(5) = 27
a(6) = 32
a(7) = 40
a(8) = 56
a(9) = 87
a(10) = 142
a(11) = 232
a(12) = 370

应该有无穷多种数列，都能满足主帖中的题目要求。就是说，只给出数列的前四项，是无法确定这个数列全貌的。

kuing

TSC999 发表于 2025-3-4 20:27
有这样一个数列  \(a(n) = \frac{1}{12} n^4 - \frac{4}{3} n^3 +\frac{89}{12} n^2 -\frac{67}{6} n + 12\ ...

2# 的解法其实就是告诉你后面写任何数值都可以写出相应的多项式通项。

TSC999

1. Clear["Global`*"];
2. a[n_] := (((1/12 (n - 4) - 1/2) (n - 3) + 3/2) (n - 2) + 3) (n - 1) + 7;
3. Do[Print["a(", n, ") = ", a[n]], {n, 1, 8}]

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按照 2#楼的通项公式构造方法，满足已知的前四项数据、并且单调递增的一个数列的前 8 项是：
a(1) = 7
a(2) = 10
a(3) = 16
a(4) = 22
a(5) = 27
a(6) = 32
a(7) = 40
a(8) = 56
这个数列的通项公式展开后与 4# 楼的那个完全一样。
如果将多项式的次数增加到 6 次，就可以得到另一个新的符合主帖要求的数列，所以说这样的数列是无穷多的：

1. Clear["Global`*"];
2. a[n_] := ((((((1/90) (n - 6) - 1/40) (n - 5) + 1/8) (n - 4) - 1/
3.             2) (n - 3) + 3/2) (n - 2) + 3) (n - 1) + 7;
4. Do[Print["a(", n, ") = ", a[n]], {n, 1, 8}]

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前 8 项是：
a(1) = 7
a(2) = 10
a(3) = 16
a(4) = 22
a(5) = 28
a(6) = 34
a(7) = 45
a(8) = 84

hbghlyj

插值多项式总是经过所有的数据点：

1. InterpolatingPolynomial[{4, 7, 2, 8, 9}, x]
2. % /. x -> Range[5]

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{4, 7, 2, 8, 9}