若x,y,z都是正实数,且$x^2+y^2+z^2=1,则yz/x+xz/y+xy/z$的最小值是多少?

走走看看

若 $x, y, z$ 是正实数，且 $x^2+y^2+z^2=1$ ，则 $\frac{y z}{x}+\frac{x z}{y}+\frac{x y}{z}$ 的最小值为多少？
\[
\begin{aligned}
& \frac{y z}{x}+\frac{x z}{y}+\frac{x y}{z}=\left(\frac{y z}{x}+\frac{x z}{y}+\frac{x y}{z}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right) \\
& =3 x y z+\frac{y^3 z}{x}+\frac{y z^3}{x}+\frac{x^3 z}{y}+\frac{x z^3}{y}+\frac{x^3 y}{z}+\frac{x y^3}{z} \\
& \geqslant 9 x y z \\
& \because x^2 y^2 z^2 \leqslant\left[\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\right]^3 \\
& \therefore x y z \leqslant \sqrt{\frac{1}{27}} \\
& \text { 故原式 } \geqslant 9 \sqrt{\frac{1}{27}}=\sqrt{3}
\end{aligned}
\]
qb.zuoyebang.com/xfe-question/question/e8e2e2 … 1607d53849bb768.html

请教大家，答案是$\sqrt{3}$，但这种写法是否算对。总觉得9xyz后的一段不应该有，而且不等号也不匹配。

爪机专用

这证明是错的

爪机专用

$(a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)$ 代 $a,b,c=\frac{y z}{x},\frac{x z}{y},\frac{x y}{z}$ 就行了

走走看看

爪机专用 发表于 2025-3-14 19:20
$(a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)$ 代 $a,b,c=\frac{y z}{x},\frac{x z}{y},\frac{x y}{z}$ 就行了

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