如何由三个方程 a = a b + c, b = b c + a, c = a c + b 人工消去 b 和 c ?

TSC999

如何由三个方程  \(a = a b + c,   b = b c + a,   c = a c + b\)  用人工消去 \(b\) 和 \(c\)，得到一个只有 \(a\) 的方程：

\(a^3 - 3 a^2 + 3 = 0\)

Aluminiumor

首先有反例：$a=b=c=0$
若三者皆不为 $0$，三式相加得 $ab+bc+ca=0$
$\Longrightarrow c=-\frac{ab}{a+b}$
代入 $c=ac+b$，得 $b(a^2-2a-b)=0$
由 $b\neq0$ 得 $b=a^2-2a$
代入 $a=ab+c=ab-\frac{ab}{a+b}$
由 $a\neq0$ 得 $a^3-3a^2+3=0$

hbghlyj

这里也有一些消元问题等待解决：
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