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kuing
Posted at 2025-3-27 01:57:42
Last edited by kuing at 2025-3-27 02:58:05瞬间想起了这帖：
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=9078
可惜是不太一样的……不过 2# 的方法应该也可以用。
还是记 `AB=c`, `AC=b`, `PA=m`, `PB=n`, `PC=p`，根据链接 2# 的计算有
\[\left( \frac{m^2-p^2}b+b \right)^2+\left( \frac{m^2-n^2}c+c \right)^2=4m^2,\]
这次是 `m=1`, `n=2`, `p=3`，代入即
\[\left(b-\frac8b\right)^2+\left(c-\frac3c\right)^2=4,\quad(*)\]
问题就变成在式 (*) 的条件下分别求 `BC=\sqrt{b^2+c^2}` 的最大值以及 `S=bc/2` 的最大值。
`BC` 的比较简单，式 (*) 展开得
\[26=b^2+c^2+\frac{8^2}{b^2}+\frac{3^2}{c^2}\geqslant b^2+c^2+\frac{(8+3)^2}{b^2+c^2}\riff b^2+c^2\leqslant13+4\sqrt3,\]
所以 `BC\leqslant\sqrt{13+4\sqrt3}=1+2\sqrt3`，取等略；
`S` 的刚才差点想上判别式法，还好嫌无趣没写，后来才想到均值就行，式 (*) 展开得
\[26=b^2+\frac{3^2}{c^2}+c^2+\frac{8^2}{b^2}\geqslant2\sqrt{\left(b^2+\frac{3^2}{c^2}\right)\left(c^2+\frac{8^2}{b^2}\right)}=2\sqrt{4S^2+\frac{24^2}{4S^2}+3^2+8^2},\]
由此不难解出 `S\leqslant3+\sqrt3`，取等也略。
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