两个旋转圆盘通过一根杆连接，滚动保持接触

hbghlyj

如图：

相关：rolling disk
两个圆盘具有相同的半径 (R) 和相同的质量 (m); 它们通过一根连接杆（长度：2R，质量：M）保持接触，该杆连接在两个圆盘的旋转中心。两个圆盘都可以自由地围绕它们的旋转中心转动。第一个圆盘的旋转中心固定在墙上，而另一个圆盘可以自由移动（当然连接在连接杆上）。两个圆盘之间的接触不滑动（无滑动轴承），基本上，接触点处的速度应该相等。

使用拉格朗日方法解决 $L=T-V$

我想用拉格朗日方法找到运动方程（即角加速度）。用拉格朗日方程 $\mathcal{L}=T-V$ 可以得到方程
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}=0
\]
得到
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi}}\right)-\frac{\partial T}{\partial \phi}=-\frac{\partial V}{\partial \phi}
\]
于是
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left\{\left(6 m+\frac{4}{3} M\right) R^2 \dot{\phi}-m R^2 \dot{\theta}\right\} & =-(2 m+M) R g \sin \phi \\
\left(6 m+\frac{4}{3} M\right) R^2 \ddot{\phi}-m R^2 \ddot{\theta} & =-(2 m+M) R g \sin \phi
\end{aligned}
\]

hbghlyj

杆，转动惯量为$I_{\text{rod}} = \frac{1}{3} M (2R)^2 = \frac{4}{3} M R^2$
圆盘 1 绕其中心轴旋转，转动惯量为$I_1= \frac{1}{2} m R^2$
圆盘 2 附在杆的另一端，距离枢轴点 \(2R\)。用平行轴定理：\[I_2 = I_1 + m d^2\]
\(d = 2R\) 是从枢轴到圆盘 2 的中心的距离\[I_2 = \frac{1}{2} m R^2 + m (2R)^2 = \frac{1}{2} m R^2 + 4 m R^2 = \frac{9}{2} m R^2\]
全部加起来，总转动惯量\[I_{\text{total}} = I_1 + I_{\text{rod}} + I_2 = \frac{1}{2} m R^2 + \frac{4}{3} M R^2 + \frac{9}{2} m R^2\]
\[= \left( 5 m + \frac{4}{3} M \right) R^2\]