H为△ABC的垂心,HD⊥AB,E和H关于BC对称。P、Q是△ADE的外接圆与BC的交点。证明CP=CQ

TSC999

设 H 为锐角三角形ABC的垂心，D 为从 C 向 AB 所作高的垂足，E 为 H 关于 BC 的对称点。假设三角形 ADE 的外接圆与直线 BC 相交于两个不同的点 P 和 Q。证明：C 是 PQ 的中点。

TSC999

此题，以 mathematica 软件作计算平台、用复斜率几何编程的证明方法如下：


用纯几何方法如何证明？

kuing

如图，由 E、H 关于 BC 对称知 E 在 △ABC 的外接圆上。
作该圆的直径 BF，取 FC 中点 M。
易证 AHCF 是平行四边形，则 AECF 是等腰梯形，所以由 M 是 FC 中点知 MA=ME。
又 ADCF 是直角梯形，所以由 M 是 FC 中点知 MA=MD。
综上得 MA=MD=ME，所以 M 是 △ADE 外接圆的圆心。（也就是 1# 图片中的 O）
于是由 MC⊥BC 知以 M 为圆心的圆与直线 BC 的两交点 P、Q 必满足 CP=CQ。

乌贼

\[ \triangle PHC\cong \triangle QFC \]