概率题

hjfmhh

1、设A、B、C、D是三棱锥的四个顶点，以1/2的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则A,B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为（   ）
2、将长度为1的线段随机截成三段，则它们能构成三角形的概率为（  ）

hbghlyj

每对点之间是否连边有2种可能，共有 $2^6=64$ 种情况，
考虑其中A，B可用折线连接的情况数。
（1）有AB边：共 $2^5=32$ 种情况；
（2）无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线相连，当且仅当A与C、D中至少一点相连，且B与C、D中至少一点相连
这样的情况数为 $(2^2-1)(2^2-1)=9$；
（3）无AB边，也无CD边：此时AC、CB相连前提下，AD,DB有 $2^2=4$ 种，AD、DB相连前提下，AC,CB也有 $4$ 种情况，但其中AC、CB、AD、DB均相连的情况被重复计了一次，故A、B可用折线连结的情况数为 $4+4-1=7$.
以上三种情况数总和为：$32+9+7=48$，
故A，B可用折线连接的概率为：$\dfrac{48}{64}=\dfrac{3}{4}$。

hbghlyj

设三段长分别为 $x, y, 1-x-y$，则总样本空间为
\[
\left\{
\begin{aligned}
&0 < x < 1 \\
&0 < y < 1 \\
&x + y < 1
\end{aligned}
\right.
\]
其面积为 $\dfrac{1}{2}$。能构成三角形的事件的空间为
\[
\left\{
\begin{aligned}
&x + y > 1 - x - y \\
&x + (1 - x - y) > y \\
&y + (1 - x - y) > x
\end{aligned}
\right.
\]
其面积为 $\dfrac{1}{8}$，则所求概率为
\[
\frac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1}{4}
\]math.stackexchange.com/questions/3979553/prob … ngle-not-a-duplicate
上面假设两个采样是独立同分布的。另一个采样的方法如下：在区间 $[0, 1]$ 内随机选择一个数 $x$，作为第一条边长。  
$$ x \sim U(0, 1) $$
在剩余部分 $[0, 1 - x]$ 内随机选择一个数 $y$，作为第二条边长。
$$ y \sim U(0, 1 - x) $$
第三条边长由剩余部分确定：  
$$ z = 1 - x - y $$
分析：  
由于 $y$ 的采样范围依赖于 $x$，联合概率密度函数 (PDF) 为：  
$$ f(x, y) = \frac{1}{1 - x} \quad \text{（当 } 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1 - x \text{）} $$  
而非单位正方形上的均匀分布。
满足三角不等式的区域还是一样：  
$$ x < \frac{1}{2}, \quad y > \frac{1}{2} - x, \quad y < \frac{1}{2} $$  
概率：  
$$
P = \int_{0}^{1/2} \int_{1/2 - x}^{1/2} \frac{1}{1 - x} \, dy \, dx = \int_{0}^{1/2} \frac{x}{1 - x} \, dx
=\ln 2 - \frac{1}{2}
$$

kuing

hbghlyj 发表于 2025-5-4 22:46
如果不是独立地选择两个点，而是总是从第一个分割的右段中选择第二个点，则概率是\[\int_0^{1/2}\frac1{2-2 ...

还有一个类似问题——总是从较长的一段中选择第二个点：

将长度为 1 的木棍随机地折成两段，对较长的一段再随机折成两段，求所得的三段小木棍能构成三角形的概率 P。

详情见《数学空间》2013 年第 4 期（总第 14 期）P.15《一道构成三角形概率题的错解》

hjfmhh

hbghlyj 发表于 2025-5-4 22:22
每对点之间是否连边有2种可能，共有 $2^6=64$ 种情况，
考虑其中A，B可用折线连接的情况数。
（1）有AB边： ...

第一种情形，有AB边：为什么是32种？

kuing

hjfmhh 发表于 2025-5-4 22:15
1、设A、B、C、D是三棱锥的四个顶点，以1/2的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立 ...

第一题计算反面或许简单一些，即计算 A、B 不可用折线连接的数目。

（1）A 是孤立点，此时 BCD 间任连，有 `2^3=8` 种；

（2）B 是孤立点，同理 8 种；

（3）A、B 都是孤立点，有 2 种：CD 连或不连。（这是前两种的重复计算，需要减掉的数）

（4）A、B 都不是孤立点，但却不可用折线连接，也只有两种情况：仅 AC、BD 连或仅 AD、BC 连。

综上，A、B 不可用折线连接的数目是 `8+8-2+2=16`，因此不可用折线连接的概率为 `16/2^6=1/4`，可用折线连接的概率就是 `3/4`。

hbghlyj

kuing 发表于 2025-5-4 15:52
还有一个类似问题——总是从较长的一段中选择第二个点：

当第二个断点总是从较长段中选择时，概率正好是当第二个断点总是从第二段中选择时结果的两倍积分区域被对称拆分为两部分，每部分贡献与原方法相同，故总概率翻倍。

设第一次断点位置为 $x$，分两种情形：
情形一：$x < 0.5$（较长段为 $1 - x$）第二次断点 $y$ 在 $[0, 1 - x]$ 内均匀选取，三段为 $x, \, y, \, 1 - x - y$。三角不等式条件等价于所有段长 $< \frac{1}{2}$，即$$y > \frac{1}{2} - x \quad \text{且} \quad y < \frac{1}{2}.$$概率贡献为：$\int_0^{0.5} \int_{\frac{1}{2} - x}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - x} \, dy \, dx = \int_0^{0.5} \frac{x}{1 - x} \, dx.$
情形二：$x \geq 0.5$（较长段为 $x$）第二次断点 $y$ 在 $[0, x]$ 内均匀选取，三段为 $y, \, x - y, \, 1 - x$。三角不等式条件为：$$y > x - \frac{1}{2} \quad \text{且} \quad y < \frac{1}{2}.$$概率贡献为：$\int_{0.5}^1 \int_{x - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} \, dy \, dx = \int_{0.5}^1 \frac{1 - x}{x} \, dx.$
通过变量代换 $x \to 1 - x$，可验证两积分相等$$\int_0^{0.5} \frac{x}{1 - x} \, dx = \int_{0.5}^1 \frac{1 - x}{x} \, dx$$

hbghlyj

将一根单位长度的棍子随机分成 \( n \) 段，形成多边形⇔所有段长均不超过 \( \frac{1}{2} \)。
若存在某段 \( L_i > \frac{1}{2} \)，则剩余段长之和 \( < \frac{1}{2} \)，无法构成多边形。
容斥原理计算至少有一段超长的概率：\[P(\text{至少一段} > \frac{1}{2}) = \sum_{i=1}^n P(L_i > \frac{1}{2}).\]由于任意两段长度均无法同时超过 \( \frac{1}{2} \)，交叉项为零。
单段 \( L_i \) 的边际分布为 Beta 分布 \( \text{Beta}(1, n-1) \)，其密度函数为：\[f(x) = (n-1)(1-x)^{n-2}, \quad 0 \leq x \leq 1.\]计算 \( P(L_i > \frac{1}{2}) \)：\[P(L_i > \frac{1}{2}) = \int_{1/2}^1 (n-1)(1-x)^{n-2} dx = \frac{1}{2^{n-1}}.\]所有段长均不超过 \( \frac{1}{2} \) 的概率为：\[P = 1 - n \cdot \frac{1}{2^{n-1}} = 1 - \frac{n}{2^{n-1}}.\]\(n=3\)(三角形)：\[P = 1 - \frac{3}{2^{2}} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.\]与原问题结果一致。
\(n=2\)：\[P = 1 - \frac{2}{2^{1}} = 0.\]合理，因两段中必有一段 \(\geq \frac{1}{2}\).