圆盘两个随机点之间的距离的概率密度

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Grimmett, Geoffrey R. Statistiker, 1955-, Stirzaker, David, (2009) Probability and random processes, Oxford University, 4.13 Geometrical probability, page 135
解决一类几何概率问题的有用方法是Crofton's method。基本思想是确定所讨论问题的实值参数，并根据该参数为所讨论的概率或期望建立微分方程。

Figure 4.1. Two intersecting circles with radii $a$ and $x$. The centre of the second circle lies on the first circle. The length of the emboldened arc is $2x\cos^{-1}(x /2a)$.

例3、两支箭 A 和 B 随机射中一个单位半径的圆形目标。箭击中的点之间的距离 $X$ 的密度函数是多少？
解：设半径为$a$的圆盘作为箭头的目标，极坐标为$\{(r,θ):r≤a\}$。我们将建立变量$a$的微分方程。令 $f(·,a)$ 表示 $X$ 的密度函数。我们有条件概率
$$\tag4f(x, a+\delta a)=f_{0}(x, a+\delta a) \mathbb{P}_{a+\delta a}\left(R_{0}\right)+f_{1}(x, a+\delta a) \mathbb{P}_{a+\delta a}\left(R_{1}\right)+f_{2}(x, a+\delta a) \mathbb{P}_{a+\delta a}\left(R_{2}\right)$$
其中 $R_i$ 是恰好 $i$ 支箭击中圆环 $\{(r, 0):a<r<a+\delta a\}$ 的事件，$f_i(x, a + \delta a) $ 是事件 $R_i$ 条件下 $X$ 的密度函数，$\Bbb P_y$ 是适用于半径为 $y$ 的圆盘的概率测度。
以 $R_0$ 为条件，箭头均匀分布在半径为 $a$ 的圆盘上，因此 $f_0(x, a +\delta a) = f (x, a)$。考虑图 4.1，我们有$$f_{1}(x, a+\delta a)=\frac{2 x}{\pi a^{2}} \cos ^{-1}\left(\frac{x}{2 a}\right)+\mathrm{o}(1), \quad \text { as } \delta a \rightarrow 0$$因为箭头的独立性，\begin{align*}\mathbb{P}_{a+\delta a}\left(R_{0}\right)&=\left(\frac{a}{a+\delta a}\right)^{4}=1-\frac{4 \delta a}{a}+\mathrm{o}(\delta a) \\ \mathbb{P}_{a+\delta a}\left(R_{1}\right)&=\frac{4 \delta a}{a}+\mathrm{o}(\delta a), \quad \mathbb{P}_{a+\delta a}\left(R_{2}\right)=\mathrm{o}(\delta a)\end{align*}取极限$\delta a\to0$，得到微分方程$$\frac{\partial f}{\partial a}(x, a)=-\frac{4}{a} f(x, a)+\frac{8 x}{\pi a^{3}} \cos ^{-1}\left(\frac{x}{2 a}\right)\tag5$$在适当的边界条件下，这意味着\begin{aligned} a^{4} f(x, a) &=\int_{0}^{a} \frac{8 x u}{\pi} \cos ^{-1}\left(\frac{x}{2 u}\right) d u \\ &=\frac{2 x a^{2}}{\pi}\left\{2 \cos ^{-1}\left(\frac{x}{2 a}\right)-\frac{x}{a} \sqrt{1-\left(\frac{x}{2 a}\right)^{2}}\right\}, \quad 0 \leq x \leq 2 a \end{aligned}[可以使用代换 $\theta =\cos^{-1}\frac x {2u}$ 计算最后一个积分。]
所求的密度函数就是 $f (x, 1)$。$\blacksquare$