老封8853的视频号里面关于四圆的一个结论

hejoseph

以下结论能否推广到一般四个圆？

$\odot O$、$\odot O_1$、$\odot O_2$、$\odot O_3$ 内切于点 $P$，半径分别为 $r$、$r_1$、$r_2$、$r_3$，当 $\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}-\dfrac{1}{r}=\dfrac{2\sqrt{r}}{\sqrt{r_1r_2r_3}}$ 时，存在 $\odot O$ 的一族动态内接三角形，使其三边总分别与 $\odot O_1$、$\odot O_2$、$\odot O_3$ 相切。

1+1=？

可推广到不存在两个二重交点或者一个三重交点的任意四点二次曲线系，详zhuanlan.zhihu.com/p/659659329见二次射影变换即包络三角

hejoseph

1#的结论我是用反演，然后经过比较复杂的计算得到的。一般四圆看来没什么简单的结论。

1+1=？

一般情况下计算符合包络三角的四个锥线，可以在齐次坐标系中，用其中内切三个锥线的线坐标组成一个曲线系，代入特殊值以确定第四个外接锥线的线坐标；求逆过程即得一个外接锥线和两个内切锥线所确定的第三个内切锥线。

hejoseph

也是那个视频号发的，结论比较简洁

creasson

hejoseph 发表于 2025-6-4 09:01
以下结论能否推广到一般四个圆？

$\odot O$、$\odot O_1$、$\odot O_2$、$\odot O_3$ 内切于点 $P$，半径 ...