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original poster
hbghlyj
posted 2025-7-27 08:22
Hopf纤维化将 $S^3$ 上的每一个点都映射到 $S^2$ 上的一个点，而且每一个 $S^2$ 上的点都对应着 $S^3$ 上的一个圆(纤维)。非平凡丛：$S^3$ 不同于 $S^2$ 和一个圆 $S^1$ 的直积空间 $S^2 \times S^1$。这种差异体现在那些纤维($S^3$ 中的圆)呈现出“环环相扣”。因为这些纤维填满 $S^3$，球极投影$s: S^3 \setminus \{(1,0,0,0)\} \to \mathbb{R}^3$下，可以填满 $\mathbb{R}^3$：
$$s(x_1, x_2, x_3, x_4) = \left(\frac{x_2}{1-x_1}, \frac{x_3}{1-x_1}, \frac{x_4}{1-x_1}\right)$$
将 $S^3$ 看作是 $\mathbb{R}^4$ 中的单位球面，其上的点可以用一对复数 $(z_0, z_1)$ 来表示，其中 $z_0 = x_1 + i x_2$ 和 $z_1 = x_3 + i x_4$，且 $|z_0|^2 + |z_1|^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 = 1$。
Hopf映射 $h: S^3 \to S^2$ 将 $S^3$ 上的点 $(z_0, z_1)$ 映射到 $S^2$ 上的一个点 $(\xi_1, \xi_2, \xi_3)$：
\begin{align*}
& \xi_1 = 2(x_1 x_3 + x_2 x_4) = 2 \operatorname{Re}(z_0 \overline{z_1}) \\
& \xi_2 = 2(x_2 x_3 - x_1 x_4) = 2 \operatorname{Im}(z_0 \overline{z_1}) \\
& \xi_3 = x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 - x_4^2 = |z_0|^2 - |z_1|^2
\end{align*}
因为 $\xi_1^2+\xi_2^2+\xi_3^2=(|z_0|^2+|z_1|^2)^2 = 1$，$h$ 确实将 $S^3$ 上的点映射到了 $S^2$ 上。
- $h^{-1}(0,0,1)=\{(z_0, 0) \in \mathbb{C}^2 \mid |z_0|=1\}$，对应实坐标 $(x_1,x_2,0,0)$ 且 $x_1^2+x_2^2=1$。
将这些点代入球极投影：
$$s(x_1,x_2,0,0) = \left(\frac{x_2}{1-x_1}, \frac{0}{1-x_1}, \frac{0}{1-x_1}\right) = \left(\frac{x_2}{1-x_1}, 0, 0\right)$$
所以 $s(h^{-1}(0,0,1))$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的 x 轴。 - $h^{-1}(0,0,-1)=\{(0, z_1) \in \mathbb{C}^2 \mid |z_1|=1\}$，对应实坐标 $(0,0,x_3,x_4)$ 且 $x_3^2+x_4^2=1$。
将这些点代入上述球极投影：
$$s(0,0,x_3,x_4) = \left(\frac{0}{1-0}, \frac{x_3}{1-0}, \frac{x_4}{1-0}\right) = (0, x_3, x_4)$$
由于 $x_3^2+x_4^2=1$，$s(h^{-1}(0,0,-1))$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中位于 yz 平面上的单位圆。 - 对 $S^2$ 上的任意点 $P=(p_1,p_2,p_3)$，$P\ne(0,0,\pm1)$
考虑$s◦h^{−1}(P)$与yz平面的交点，解方程组$\begin{cases}x_2=0\\2(x_1 x_3 + x_2 x_4) = p_1 \\2(x_2 x_3 - x_1 x_4) = p_2 \\x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 - x_4^2 = p_3\end{cases}$得$\begin{cases}x_1x_3 = \frac{p_1}{2} \\x_1x_4 = \frac{p_2}{2} \\x_1^2 = \frac{1+p_3}{2}\end{cases}$
交点 $\left(0,\frac{x_3}{1-x_1}, \frac{x_4}{1-x_1}\right)$ 有且仅有两个，分别对应于取正值和负值的 $x_1$。注意到
\[
\left(\frac{x_3}{1-x_1}\right)^2+\left(\frac{x_4}{1-x_1}\right)^2=\frac{1-\left(x_1\right)^2}{\left(1-x_1\right)^2}=\frac{1+x_1}{1-x_1}, \quad x_1= \pm \sqrt{\frac{1+p_3}{2}} \in(-1,1)
\]
故若取 $x_1=\sqrt{\frac{1+p_3}{2}}, x_1 \in(0,1), \frac{1+x_1}{1-x_1}>1$，则交点在单位圆外；若取 $x_1=-\sqrt{\frac{1+p_3}{2}}, x_1 \in(-1,0), \frac{1+x_1}{1-x_1}<1$，则交点在单位圆内。由此即可得知，$s \circ h^{-1}(P)$ 和 $s \circ h^{-1}((0,0,-1))$ 是套着的，而且 $x$ 轴必定不在 $s \circ h^{-1}(P)$ 所在的平面内，因为 $S^2$ 中不同点上的纤维是彼此不交的。
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