代数整数 $\sqrt{m}$ 和 $\sqrt{n}$ 的最大公约数

hbghlyj

在代数整数环 $\mathcal{O}$ 中，任何两个元素的 GCD 存在，并可表示为它们的线性组合（Bézout 等式）。
对于正整数 $m$ 和 $n$，证明：在 $\mathcal{O}$ 中，$\gcd(\sqrt{m}, \sqrt{n}) = \sqrt{\gcd(m,n)}$

hbghlyj

令 $g = \gcd(m, n)$，需要证明 $\sqrt{g}$ 是 $\sqrt{m}$ 和 $\sqrt{n}$ 的 GCD。

部分 1: 证明 $\sqrt{g}$ 是公约数

根据 $g = \gcd(m, n)$ 的定义，$m = g \cdot k_1$，$n = g \cdot k_2$，其中 $k_1, k_2$ 为整数。
取平方根：$\sqrt{m} = \sqrt{g} \cdot \sqrt{k_1}$，$\sqrt{n} = \sqrt{g} \cdot \sqrt{k_2}$。
因此，$\sqrt{g}$ 在 $\mathcal{O}$ 中整除 $\sqrt{m}$ 和 $\sqrt{n}$。

部分 2: 证明 $\sqrt{g}$ 是最大公约数

令 $c$ 为 $\sqrt{m}$ 和 $\sqrt{n}$ 在 $\mathcal{O}$ 中的任意公约数，则：
$\sqrt{m} = c \cdot \alpha$，$\sqrt{n} = c \cdot \beta$，其中 $\alpha, \beta \in \mathcal{O}$。
平方得：$m = c^2 \cdot \alpha^2$，$n = c^2 \cdot \beta^2$。
由 Bézout 恒等式，存在整数 $x, y$ 使 $g = m x + n y$。
代入：$g = c^2 (\alpha^2 x + \beta^2 y)$。
令 $\delta = \alpha^2 x + \beta^2 y \in \mathcal{O}$，则 $g = c^2 \delta$。
取平方根：$\sqrt{g} = c \cdot \sqrt{\delta}$，其中 $\sqrt{\delta} \in \mathcal{O}$。
故 $c$ 整除 $\sqrt{g}$。