|
|
一阶逻辑：处理对单个元素的量化。
示例
“有一个人没有父亲”：
|= ∃x ¬∃y.isFatherOf (y, x)
⇔ |= ∃x∀y.¬isFatherOf (y, x)
“有无数个素数”：
∀x∃y.y > x ∧ ∀z.(1 < z ∧ z < y) → y mod z ≠ 0
费马大定理：
∀n, x, y ∈ N. n > 2 → (¬∃z ∈ N. $x^n + y^n = z^n$)
Goldbach猜想
∀x.(x > 2 ∧ even(x)) →(∃y, z . prime(y) ∧ prime(z) ∧ x = y + z)
弱Goldbach猜想（在 2013 被证明）
∀x. (x > 5 ∧ odd(x)) → (∃y, z, w. prime(y) ∧ prime(z) ∧ prime(w) ∧ x = y + z + w)
二阶逻辑：除了单个元素外，还允许对这些元素的集合进行量化。
实数的完备性：
“对于每个实数集 S，如果 S 有上界，则 S 有一个最小上界。”
\[\forall S \subseteq \mathbb{R} (
(S \neq \emptyset \land \exists m \in \mathbb{R} \, \forall x \in S \, (x \leq m))\]
\[\rightarrow
\exists l \in \mathbb{R} \left( \forall x \in S \, (x \leq l) \land \forall y \in \mathbb{R} \left( (\forall x \in S \, (x \leq y)) \rightarrow (l \leq y) \right) \right)
)\]不能仅使用关于单个实数的命题来定义完备性；需要讨论实数的集合。
要表达此性质，需要能够说“对于所有实数集 S……”，这种对集合的量化使得完备性公理成为二阶公理。
三阶逻辑：允许对子集族（即集合的集合）进行量化。
- 要声明一个拓扑空间是紧致的或Hausdorff空间需要三阶逻辑来完全形式化开覆盖性质。
- 连续统假设：$\mathbb{N}$ 的幂集的每个无限子集要么是可数的，要么具有连续统的基数。这需要三阶量化，因为实数是二阶对象（$\mathbb{N}$ 的子集），且连续统假设对它们的集合进行量化。
|
|
