一道简单的椭圆题

青青子衿

已知椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$
过焦点的直线交椭圆于$A,B$,交$y$轴与点$C$，使得$|F_2B|=|AC|$
求直线方程。

其妙

回复 1# 青青子衿
设椭圆左顶点为$A_1$，上顶点为$B_1$，则$AB//A_1B_1$，对不对？

kuing

化成圆，原先等的线段仍然等，于是显然。

青青子衿

回复 3# kuing
可是怎么用解析几何方法证明？

kuing

管它

青青子衿

管它
kuing 发表于 2014-1-21 16:09

不用管？？？？？
帮帮忙！谢谢！

其妙

回复 6# 青青子衿
看看2楼的，

青青子衿

其妙 发表于 2014-1-21 08:01
设椭圆左顶点为$A_1$，上顶点为$B_1$，则$AB//A_1B_1$，对不对？ ...

kuing 发表于 2014-1-21 08:06
化成圆，原先等的线段仍然等，于是显然。

设椭圆左顶点为$A_1$，上顶点为$B_1$，则$AB//A_1B_1$，对不对？
可是答题时不能直接写吧！总得用解析几何方法证明$AB//A_1B_1$吧！
照这样，为什么不直接用解析几何的方法求要求的直线方程呢？

kuing

回复 8# 青青子衿

你自己思考过吗？动过手吗？

第一章

设 $A B$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=-c+t \cdot \cos \theta \\ y=t \cdot \sin \theta\end{array}\right.$ ，其中 $t$ 为参数，$\theta$ 为 $A B$ 的倾斜角；
令 $x=0$ ，得 $t_C=\frac{c}{\cos \theta}$ ；
把参数方程代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ，整理可得
$t^2\left(b^2 \cdot \cos ^2 \theta+a^2 \cdot \sin ^2 \theta\right)-t \cdot 2 b^2 \cdot c \cdot \cos \theta-b^4=0$ ，设该方程两个根为 $t_A, t_B$ ，
依题意，应有 $t_A+t_B=t_C$ ，即 $\frac{2 b^2 \cdot c \cdot \cos \theta}{b^2 \cdot \cos ^2 \theta+a^2 \sin ^2 \theta}=\frac{c}{\cos \theta}$ ，
化简得 $b^2 \cdot \cos ^2 \theta=a^2 \cdot \sin ^2 \theta$ ，于是 $\tan \theta= \pm \frac{b}{a}$ ，略

其妙

回复 10# 第一章
果然平行（或者$AB//A_2B_1$，$A_2$是右顶点）！我也懒得码字了.

kuing

回复 11# 其妙

怎么都懒得码字？不过我也不想码因为我很想看看楼主解题。

青青子衿

回复  青青子衿
你自己思考过吗？动过手吗？
kuing 发表于 2014-1-21 19:49

$\begin{cases} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1  \\ y=k(x+c) \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\frac{x^2}{a^2}+\frac{k^2(x+c)^2}{b^2}=1$
$\Rightarrow$ $b^2x^2+a^2k^2(x+c)^2=a^2b^2$
$\Rightarrow$ $(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2k^2cx+a^2(k^2c^2-b^2)=0$
$\Rightarrow$ $\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{2a^2k^2c}{a^2k^2+b^2} \\x_1x_2=\frac{a^2(k^2c^2-b^2)}{a^2k^2+b^2} \end{cases}$
$|AB|=\sqrt{(1+k^2)[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]}$
接下来就不知怎么做了！

kuing

好，既然你码了，那我就码一个，很常规的点差法。

设 $F_2(-c,0)$, $C(0,m)$, $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$，则 $x_1^2/a^2+y_1^2/b^2=1$, $x_2^2/a^2+y_2^2/b^2=1$，作差整理得
\[\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\cdot\frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=-\frac{b^2}{a^2},\]
由所设得 $(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=m/c$，由 $F_2B=AC$ 得 $x_1+x_2=-c$, $y_1+y_2=m$，于是
\[\frac{m^2}{c^2}=\frac{b^2}{a^2},\]
……

kuing

不过我还有一个疑问，为什么你不会做，标题却是“一道简单的椭圆题”？

第一章

牛叉，这也能点差法……
不过想想确实在理

第一章

回复 15# kuing
可能就是看题目条件少

kuing

回复 16# 第一章

刚才打多了两个2，改了一下。

其妙

牛叉，
不过想想确实在理
第一章 发表于 2014-1-21 21:21

真的牛叉啊，这也能点差法！……
我是用的极坐标，结果也一样，完了后突然发现居然平行！于是kk用伸缩变换证明了平行。

其妙

现在终于想起来了有这么一道题，就是两端线段相等，然后取中点的方法。
所以本题由条件$|F_2B|=|AC|$可得，线段$AB$和$F_2C$的中点重合，设此中点为$P$，又设$C(0,m)$，$F_2(-c,0)$，则$P(-\dfrac{c}{2},\dfrac{m}{2})$，

于是$k_{OP}=-\dfrac{m}{c}$，又因为$k_{AB}=k_{F_2C}=\dfrac{m}{c}$，故$k_{OP}=-k_{AB}$

代入结论$k_{OP}\cdot k_{AB}=-\dfrac{b^2}{a^2}$得，$ k_{AB}^2=\dfrac{b^2}{a^2}$，即$ k_{AB}=\pm\dfrac{b}{a}$.

或者用直角三角形斜边中线的性质知道，$k_{PF_1}=-k_{OP}$，即$k_{OP}=-k_{AB}$，则无需设点$C$的坐标。