连续三项等差数列和，一定不成等比数列

realnumber

$S_n$是等差数列前n项和，求证：任意正整数n，$S_n,S_{n+1},S_{n+2}$不构成等比数列.
过些时间发解答，对象是三流普高的学生，越简单越好.

kuing

\begin{gather*}
右键看代码可见答案，如果看不懂代码，可以将代码中的所有~\%~去掉然后放到下面的预览里面显示公式\\
%S_n=An^2+Bn,\\
%S_{n+1}^2-S_nS_{n+2}=A^2+2AB+B^2+4A^2n+2ABn+2A^2n^2,\\
%\Delta_A=-4B^2n(n+2),\\
%\Delta_B=-4A^2n(n+2),\\
%S_{n+1}^2=S_nS_{n+2}\iff A=B=0 \iff a_n\equiv 0.
\end{gather*}

其妙

居然还可以隐藏代码？%的作用就是隐藏？
感觉就是数列的凸性。
假如$S_n>0$，那么$S_{n+1}^2-S_nS_{n+2}\geqslant0(或\leqslant0)$等价于$2\ln{S_{n+1}}\geqslant(或\leqslant)\ln{S_n}+\ln{S_{n+2}}$，

当且仅当$\{\ln{S_n}\}$成等差数列时取等号，即$\ln{S_n}=kn+b$，即$S_n=e^{kn+b}$，显然这不可能取等号。

对于$S_n<0$，这里不讨论了，虽然取对数要求真数大于0，但在某些时候……

删广告专用

回复 3# 其妙

对立面不是恒成立

其妙

回复 4# 删广告专用
那就$S_n$取绝对值嘛。
即$\{\ln|{S_{n}}|\}$成等差数列时取等号，即$|\ln{S_n}|=kn+b$ ，
即$|S_n|=e^{kn+b}$  ，显然这不可能取等号。
另外，具体的题肯定有具体的方法，这里我是说一般的数列。

删广告专用

回复 6# 其妙
我是说对立面不是恒成立而是存在。。。

其妙

回复 7# 删广告专用
如果存在那几项（至少3项），根据凸性结论证明过程，那几项（至少3项）取对数仍然成等差。

kuing

回复 8# 其妙

那就不叫“$\{\ln|{S_{n}}|\}$ 成等差数列”了

realnumber

假设某个$n_0$有$S_{n_0},S_{n_0+1},S_{n_0+2}$成等比，公比为q.
因为$\frac{S_n}{n}=a_1+\frac{(n-1)d}{2}$,$a_1,d$分别是首项和公差.
即数列{$\frac{S_n}{n}$}是等差数列.
因此有\[\frac{2S_{n_0+1}}{n_0+1}=\frac{S_{n_0}}{n_0}+\frac{S_{n_0+2}}{n_0+2}\]
由$S_{n_0+1}=qS_{n_0},S_{n_0+2}=q^2S_{n_0}$
\[\frac{2q}{n_0+1}=\frac{1}{n_0}+\frac{q^2}{n_0+2}\]
以上看作q的一元二次方程，判别式$Δ=\frac{4}{(n_0+1)^2}-\frac{4}{n_0(n_0+2)}\le 0 $无解.即原命题成立.

踏歌而来

我来用三流高中生的思路来证吧。

Sn+1=Sn+d
Sn+2=Sn+2d

$Sn+1^2-Sn*Sn+2=d^2$
$显然，当d≠0时，上式>0，即不成等比数列$
$当d=0时，上式=0，即成等比数列$

因此，原命题得证。

realnumber

回复 10# 踏歌而来


    用三流高中生的思路来证吧---正是我期望的想法.
可惜解答第一行就失误了，你把问题看作{Sn}等差了.

踏歌而来

楼上你可能没有理解等差数列的根本特征。

1、3、5、7、9
1、3、5、7、9、11
1、3、5、7、9、11、13

以上为等差数列中的前5项、前6项、前7项
用Sn表示前5项，
那么就可用Sn+d表示前6项，用Sn+2d表示前7项。

这没有问题吧？

也可以是如下情况：
…… 15，18，21，24，27
…… 15，18，21，24，27，30
…… 15，18，21，24，27，30，33
显然也没有问题。

realnumber

$S_n,S_{n+1},S_{n+2}$成等差不可能的.除非公差d=0.
我还是觉得你错了.

踏歌而来

你是对的，我再想想。

isee

假设某个$n_0$有$S_{n_0},S_{n_0+1},S_{n_0+2}$成等比，公比为q.
因为$\frac{S_n}{n}=a_1+\frac{(n-1)d}{2} ...
realnumber 发表于 2014-3-13 08:01

这种解法很通俗啊，$\dfrac{S_n}n$为等差也是填空选择的宠物，应该都不算陌生了。无非会感觉技巧性太强，（其实不强，最基本的数学思想方法）

但是这默认$d\ne 0$了……

isee

如果学生真的很弱，那把公差$d$给成非零常数，又能复习等差求和，等比数列性质又能体会反证法。

＝＝

这是原题吧？

踏歌而来

$Sn=n(a+\frac{n-1}{2}d)$
$Sn+1=(n+1)(a+\frac{n}{2}d)$
$Sn+2=(n+2)(a+\frac{n+1}{2}d)$

所以
$Sn+1^2-Sn+1Sn+2$
$=(n+1)^2(a+\frac{n}{2}d)^2-(n^2+2n)[(a+\frac{n}{2}d)^2-\frac{d^2}{4}]$
$=(a+\frac{n}{2}d)^2+\frac{d^2}{4}(n^2+2n)$
显然上式大于0

因此得证。

realnumber

回复 16# isee

是的

realnumber

回复 17# 踏歌而来

恩，这个也可以，和2楼类似

踏歌而来

2楼是怎么证的？
可以把Kuing的证明贴出来吗？
我看不懂代码，贴上去也不是正常的显示。