三角函数

lrh2006

已知0＜x, y＜π/2 ,且siny＝xcosx , 则对于满足条件的x,y, 下列四个不等式选项中一定不可能成立的是
A. 0＜y＜x＜π/4
B. π/4＜ y＜x＜π/3
C. π/3＜y＜x＜π/2
D. 0＜y＜π/4, π/3＜x＜π/2
求指点，谢谢！

kuing

本论坛就有类似的题 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=2382 参考下呗

kuing

回复 2# kuing

唔，那贴好像也没什么参考价值，而且我初步考虑了下，BC 都不可能的样子…… y 一定小于 45 度……

kuing

下面证明当 $x\in(0,\pi/2)$ 时 $x\cos x<\sin45\du$。

设 $f(x)=x\cos x$, $x\in(0,\pi/2)$，求导得 $f'(x)=\cos x-x\sin x$，故易见 $f(x)$ 先增后减，取最大值时 $x=x_0$ 满足 $x_0=\cot x_0$。

由 $\cot x_0=x_0<\tan x_0 \riff \tan x_0>1 \riff x_0>45\du$，故此
\[f(x)_{\max}=f(x_0)=x_0\cos x_0=\cot x_0\cos x_0=\frac{1-\sin^2x_0}{\sin x_0}<\frac{1-\sin^245\du}{\sin45\du}=\sin45\du,\]
即得 $x\cos x<\sin45\du$。

由此即有 $\sin y=x\cos x<\sin45\du \riff y<45\du$。

lrh2006

回复 4# kuing


    怎么回事，都是乱码，看不懂诶

kuing

回复 5# lrh2006

？刷新一下试试

其妙

把那边的转过来：

因为$x\cos y=\sin x=2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2<2\cdot\dfrac x2\cos\dfrac x2=x\cos\dfrac x2$，故$\cos y<\cos\dfrac x2$，即：$y>\dfrac x2$.

又 $\cos y=\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\tan x\cos x}{x}>\dfrac{ x\cos x}{x}=\cos x$，故$y<x$.

于是，$\dfrac x2<y<x$.

lrh2006

终于能打开网页了，而且不是乱码，太好啦。谢谢两位高手，不过参考答案好像是C,我明天再去看下。

goft

又发现一道类似题目：

爪机专用

回复 9# goft

这个本论坛也有记载 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=2367