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原贴地址：bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=3107597
原发贴人：sgp991106
题目：
易见，当 $x\in\mbb Z$ 时
\[
\frac{p-15}{16}<x\leqslant\frac{p-7}8 \iff \left[ \frac{p-15}{16} \right]+1\leqslant x\leqslant\left[ \frac{p-7}8 \right],
\]
可见，整数解的个数为 $6$ 当且仅当
\[
\left[ \frac{p-7}8 \right]-\left[ \frac{p-15}{16} \right]=6,
\]
设 $p=16k+r$，其中 $k$, $r\in\mbb Z$, $0\leqslant r<16$，代入上式即为
\[
k+\left[ \frac{r-7}8 \right]-\left[ \frac{r-15}{16} \right]=6,
\]
当 $0\leqslant r\leqslant6$ 时
\[\left[ \frac{r-7}8 \right]=\left[ \frac{r-15}{16} \right]=-1\riff k=6;\]
当 $7\leqslant r\leqslant 14$ 时
\[\left[ \frac{r-7}8 \right]=0,\left[ \frac{r-15}{16} \right]=-1\riff k=5;\]
当 $r=15$ 时
\[\left[ \frac{r-7}8 \right]=1,\left[ \frac{r-15}{16} \right]=0\riff k=5,\]
综上，$p$ 可以取 $16\times 5+r$, $7\leqslant r\leqslant15$ 以及 $16\times 6+r$, $0\leqslant r\leqslant6$，亦即是 $87\leqslant p\leqslant102$。 |
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isee
Posted at 2014-11-11 08:29:14
