两个奇异积分的证明题

血狼王

$(1)$
若$t$为正数，求证：
$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}e^{-tx^2}\rmd x=\sqrt{\pi}\int_0^{\frac{1}{2\sqrt{t}}} e^{-x^2}\rmd x.$$
$(2)$
对于一切实数$x$，求证：
$$\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin (x-t)}{x-t}\cdot \frac{\sin t}{t}\rmd t=\frac{\sin x}{x}.$$

战巡

回复 1# 血狼王

1、
显然里面是$x$的偶函数，有
\[原式=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}e^{-tx^2}dx=\frac{1}{2}f(t)\]
\[f'(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(x)xe^{-tx^2}dx\]
由于
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(x)xe^{-tx^2}dx+i\int_{-\infty}^{\infty}\sin(x)xe^{-tx^2}\]
\[=\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-(tx^2-ix)}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-t(x-\frac{i}{2t})^2-\frac{1}{4t}}dx=\frac{i\sqrt{\pi}}{2t^{\frac{3}{2}}}e^{-\frac{1}{4t}}\]
显然$f'(t)$就是这玩意的虚部
\[f'(t)=\frac{\sqrt{\pi}}{2t^{\frac{3}{2}}}e^{-\frac{1}{4t}}\]
\[f(t)=-\int_{t}^{+\infty}f'(w)dw=-\int_{t}^{+\infty}\frac{\sqrt{\pi}}{2w^{\frac{3}{2}}}e^{-\frac{1}{4w}}dw\]
令$\frac{1}{4w}=x^2$，就有
\[f(t)=2\sqrt{\pi}\int_{0}^{\frac{1}{2\sqrt{t}}}e^{-x^2}dx\]
\[原式=\frac{1}{2}f(t)=\sqrt{\pi}\int_{0}^{\frac{1}{2\sqrt{t}}}e^{-x^2}dx\]

战巡

回复 1# 血狼王

2、
\[\frac{\sin(x-t)\sin(t)}{(x-t)t}=\frac{1}{x}(\frac{\sin(x-t)\sin(t)}{x-t}+\frac{\sin(x-t)\sin(t)}{t})\]
\[=\frac{1}{x}(\frac{\sin(x-t)[\sin(x)\cos(x-t)-\sin(x-t)\cos(x)]}{x-t}+\frac{[\sin(x)\cos(t)-\sin(t)\cos(x)]\sin(t)}{t})\]
\[=\frac{1}{x}(\sin(x)\frac{\sin(2(x-t))}{2(x-t)}-\cos(x)\frac{\sin^2(x-t)}{x-t}+\sin(x)\frac{\sin(2t)}{2t}-\cos(x)\frac{\sin^2(t)}{t})\]
于是
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(x-t)\sin(t)}{(x-t)t}dt\]
\[=\frac{\sin(x)}{x}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(2(x-t))}{2(x-t)}dt-\frac{\cos(x)}{x}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin^2(x-t)}{x-t}dt+\frac{\sin(x)}{x}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(2t)}{2t}dt-\frac{\cos(x)}{x}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin^2(t)}{t}dt\]
\[=\frac{\sin(x)}{2x}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(w)}{w}dw+\frac{\cos(x)}{x}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin^2(y)}{y}dy+\frac{\sin(x)}{2x}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt-\frac{\cos(x)}{x}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin^2(t)}{t}dt\]
其中$w=x-t,y=t-x$

\[原式=\frac{\sin(x)}{2x}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(w)}{w}dw+\frac{\sin(x)}{2x}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt=\pi·\frac{\sin(x)}{x}\]

血狼王

回复 3# 战巡


说明两点：
一、
反常积分
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2 x}{x} \rmd x$$
是不收敛的。
二、
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x} \rmd x=\pi.$$
所以你最后的结果应该是$\pi\cdot \frac{\sin x}{x}.$

你看看吧。

战巡

回复 4# 血狼王


行了，以后这点小问题自己想办法解决
还有，不要去纠结输入错误