网友问的(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)>(x-1)(x-2)(x-9)

kuing

Joseph (1785***)  15:16:16
(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)>(x-1)(x-2)(x-9)
看这个有没有什么简单的方法证明？
x是任意实数

表示我也没啥妙法，你们撸撸看……

isee

不是公式？超字数了，还是楼主太懒散

kuing

回复 2# isee

是懒，不过也方便你们啊，可以直接复制粘贴到软件上嘛

realnumber

x=1,2,3,...,9代入成立.
x<1或2<x<3,或4<x<5或6<x<7或8<x<9左边正，右边负，不等式成立
1<x<2时,左边>(x-7)(x-8)>5×6=30>8>9-x>右边
x>9时(x-3)(x-4)>x-1,(x-5)(x-6)>x-2,x-7>x-9所以原式也成立.


只需要证明3<x<4,5<x<6,7<x<8时，此时两边都负.
???画了下图，才发现3<x<4时，很接近，看来这个办法没啥用

kuing

回复 4# realnumber

难点在 3~4 间，很接近

realnumber

回复 5# kuing


    恩

kuing

令 $x=(u+11)/2$，不等式等价于
\[(u^2-1)(u^2-3^2)(u^2-5^2)>8(u^2-7^2)(u+9),\]
若 $\abs u\geqslant 7$，则显然 $(u^2-3^2)(u^2-5^2)>8(u^2-7^2)$，只需证 $u^2-1>u+9$，易证成立；

当 $\abs u<7$ 时，由均值有
\[\RHS\leqslant8(u^2-7^2)\left( -\left( \frac{u^2}9+\frac94 \right)+9 \right)=\frac29(u^2-7^2)(243-4u^2),\]
令 $t=u^2\in[0,49)$，则只需证
\[9(t-1)(t-3^2)(t-5^2)>2(t-7^2)(243-4t),\]
这个就不难证了，虽然很接近，但毕竟只是三次函数，就是数字大了点（比如配方为 $(1764 t + 9659) (t - 20)^2 + (27 t - 638)^2>0$）。

hejoseph

我给发题目的人看看，不知道不会太满意

abababa

网友讲了一个复杂的办法，是用的斯图姆序列，但是不借助软件的话手算太难了。
Array[f,7];
f[1]=(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)-(x-1)(x-2)(x-9);
f[2]=D[f[1],x];
For[i = 3, i <= 7, i++,
f[i] = -PolynomialRemainder[f[i - 2], f[i - 1], x]];
x=0
Sign[{f[1], f[2], f[3], f[4], f[5], f[6], f[7]}]
x=9
Sign[{f[1], f[2], f[3], f[4], f[5], f[6], f[7]}]
变号都是三次，相等，所以在$(0,9)$之内没有实根。

kuing

回复 9# abababa

嗯，这是通用方法

isee

网友讲了一个复杂的办法，是用的斯图姆序列，但是不借助软件的话手算太难了。
Array[f,7];
f[1]=(x-3)(x-4) ...
abababa 发表于 2016-12-24 16:32

    斯图姆定理？高等代数里的？

abababa

回复 11# isee

是吧，多项式部分的，但我不太懂，网友很早之前讲过一遍，这次又讲了一遍。但如果不借助软件，要做这个多项式除法的余式就太难了。最后一步代入0，1这些数到好算，代入9也不好算。
但是判断没有负根挺容易的，用笛卡尔符号法则算f(-x)，所有系数都是正的，说明没有正根，因此f(x)就没有负根。如果代入$x=y+5$或$x=y+6$，也容易得出在$\abs{y}\le 1$中没有根，那所有根都在$(0,4)\cup(7,+\infty)$之间，但是还是不能缩小范围。

abababa

试了一下$3<x<4$的情况，大家看看有没有问题。
当$3<x<4$时$(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)>24$，所以$(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)>24(x-3)(x-4)$，所以只要证明$24(x-3)(x-4)>(x-1)(x-2)(x-9)$，两边乘$-1$，即只要证明$24(x-3)(4-x)<(x-1)(x-2)(9-x)$，而$(x-1)(x-2)(9-x)>5(x-1)(x-2)$，所以只要证明$24(x-3)(4-x)<5(x-1)(x-2)$，移项后用二次函数就能判断正确了。

哦，这个不对，这时$x-4$是负数。

kuing

试了一下$3<x<4$的情况，大家看看有没有问题。
当$3<x<4$时$(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)>24$，所以$(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)>24(x-3)(x-4)$，...
abababa 发表于 2016-12-26 19:58

第一个“所以”就不对了

abababa

回复 14# kuing

嗯，想到了。还是负数的情况没弄清楚。