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题目：已知 $0<a\leqslant b\leqslant c$, $a^2+b^2+c^2=9$，求证 $abc+1>3a$。
下面来说说常规的思路吧，固定 $a$，则 $b^2+c^2$ 固定，要使 $bc$ 小，应拉开它们，故考虑将 $b$, $c$ 调整为 $a$, $\sqrt{b^2+c^2-a^2}$，从而化为只有 $a$ 的不等式，接下来大概也不会太难。
具体过程就不写了，因为既然有了这种思路，何不加强来玩？
因为 $9\sqrt3<16$，下面证明加强式
\[\frac{13}{16}abc+\frac{9\sqrt3}{16}\geqslant 3a.\]
证明：令 $a=\sqrt3x$, $b=\sqrt3y$, $c=\sqrt3z$，则 $0<x\leqslant y\leqslant z$, $x^2+y^2+z^2=3$，待证不等式化为
\[13xyz+3\geqslant 16x.\]
当 $x\leqslant 3/16$ 时不等式显然成立，而由条件显然 $x\leqslant 1$，故只需证明 $x\in (3/16,1]$ 的情况即可。
因为
\[y^2z^2-x^2(y^2+z^2-x^2)=(y^2-x^2)(z^2-x^2)\geqslant 0,\]
故
\[yz\geqslant x\sqrt{y^2+z^2-x^2}=x\sqrt{3-2x^2},\]
所以只需证
\[13x^2\sqrt{3-2x^2}+3\geqslant 16x,\]
即
\[13^2x^4(3-2x^2)\geqslant (16x-3)^2,\]
因式分解为
\[(1-x)(338x^5+338x^4-169x^3-169x^2+87x-9)\geqslant 0,\]
令 $f(x)=338x^5+338x^4-169x^3-169x^2+87x-9$，利用 Sturm 定理可以判断出 $f(x)$ 在 $(3/16,1]$ 上恒正，所以不等式获证。
PS、如果不想用那个定理的话……呃……暂时也没啥简单法子，来个暴力配方吧
\begin{align*}
f(x)={}&338\left( x-\frac25 \right)^4\left( x-\frac16 \right)+\frac{14027}{15}\left( x-\frac25 \right)^2\left( x-\frac14 \right)^2 \\
& +\frac{31603}{50}\left( x-\frac25 \right)^2\left( x-\frac3{16} \right)+\frac{272935x^2-208908x+41052}{20000},
\end{align*}
其中最后一项的分子判别式为负，所以当 $x>3/16$ 时 $f(x)$ 恒正。 |
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realnumber
Posted 2017-1-27 14:07
