初等数学个人笔记

敬畏数学

早日出版。期待中。

zhcosin

回复 21# 敬畏数学
出版不是你想出，想出就能出。

第一章

强势插入！

敬畏数学

回复 22# zhcosin
不要太贵，送一本最好了！

zhcosin

回复 24# 敬畏数学
自己找个复印店打印装订就是了，二十块钱都用不到。

力工

回复 25# zhcosin
母本都没有，想盗盗不成,周神还是出版吧

zhcosin

PDF 文件的大小终于达到 1M 啦

hbghlyj

链接失效了，能否再分享一下

kuing

回复 28# hbghlyj

在 github 上搜索楼主的 ID，可以找到：
github.com/zhcosin/elementary-math
应该是一样的，还连同代码呢

业余的业余

马克一下，有空再慢慢研究。

kuing

回复 30# hbghlyj

楼主来了，顶一顶，赶紧喊他继续更新

zhcosin

回复 32# kuing
哈哈

isee

回复 33# zhcosin


失踪人口冒了个泡

zhcosin

在空间中，从一点引出三条射线组成了一个有趣的模型，它包含了三个角，以及三个扇形平面区域，还有三个二面角，如果在三条射线上各取一个点并互相连接起来，就得到一个四面体，三面角与四面体在空间几何中，与三角形在平面几何中类似，简单的图形却具有丰富的内容.

三面角的余弦公式

现在我们感兴趣的是，这三条射线的两两夹角，与三个面形成的三个二面角之间的关系。

为研究这个关系，我们提炼出下面这样的一个简化模型:

如图所示, 从一个二面角的棱上某点 $O$ 分别向两个半平面内各引一条射线，如果我们固定住这两条射线与棱之间的夹角，而让二面角的大小可以自由变化，那么显然这两条射线的夹角就只跟这个二面角的大小有关了。

在棱上取异于 $O$ 的一点 $H$，过点$H$分别在两个半平面内作棱的垂线，分别与两条射线相交于 $A$ 和 $B$，记 $\angle AOH = \alpha$, $\angle BOH=\beta$，二面角 $AHB=\theta$，我们来求 两条射线的夹角 $\gamma = \angle AOB$.

约定 $OH = 1$，有
\[ AO = \frac{1}{\cos{\alpha}}, BO = \frac{1}{\cos{\beta}}, AH = \tan{\alpha}, BH = \tan{\beta} \]
由余弦定理可得 $AB$长度为
\[ AB^{2} = AH^2+BH^2-2 \cdot AH \cdot BH \cdot \cos{\theta} \]
代入各式可得
\[ AB^2 = \tan^2{\alpha} + \tan^2{\beta} - 2 \tan{\alpha} \tan{\beta} \cos{\theta} \]
再由余弦定理可得
\[ \cos{\gamma} = \frac{AO^2+BO^2-AB^2}{2 \cdot AO \cdot BO} \]
代入各式最终得
\[ \cos{\gamma} = \cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\cos{\theta} \]
这便是最终结果.

在这结果中分别取 $\theta = \pi$ 和 $\theta = 0$，我们就分别得到余弦的和角公式和差公式:
\begin{eqnarray*}
  \cos{(\alpha+\beta)} & = & \cos{\alpha}\cos{\beta} - \sin{\alpha}\sin{\beta} \\
  \cos{(\alpha-\beta)} & = & \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}
\end{eqnarray*}
另外一个特殊的情况是，当二面角为直二面角时，有
\[ \cos{\gamma} = \cos{\alpha}\cos{\beta} \]
有了这个结果，对于前述空间中一点引出三条射线的模型，三条射线的夹角，与三个二面角之间的关系就清楚了。

例 根据经纬度计算地球上两点间的(球面)距离
  在这个例子中，我们要研究的是，已知地球上两点的经纬度坐标，如果计算出这两点间的球面距离。

如图，球面上有两点 $A(u_1, v_1)$ 和 $B(u_2,v_2)$，$u$和$v$分别表示经度和纬度，现在想知道如何根据这两点的经纬度以及地球半径$R$计算两点间的球面距离.

根据弧长公式，这只需要计算出这两点对地心的张角便可。作出通过$A$和$B$两点的经线和通过$B$的纬线，再取北极点$N$，那么由射线$OA$、$OB$、$ON$便构成一个三面角，$A$、$B$两点对地心的张角$\angle AOB$正是这三面角的面角之一，而面角$\angle AON$和$\angle BON$正好是$A$、$B$两点纬度角的余角，即
\[ \angle AON = \frac{\pi}{2}-v_1, \angle BON = \frac{\pi}{2}-v_2 \]
根据三面角余弦公式，只要再知道二面角$A-ON-B$，就能得出$\angle AOB$，而二面角$A-ON-B$正好是$A、B$两点的经度差，于是
\[ \cos{\angle AOB} = \cos{\left(\frac{\pi}{2}-v_1\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{2}-v_2\right)}+\sin{\left( \frac{\pi}{2}-v_1 \right)}\sin{\left(\frac{\pi}{2}-v_2\right)}\cos{(u_1-u_2)} \]
所以最终$A$、$B$两点间的球面距离是
\[ d_{AB} = R\arccos(\sin{v_1}\sin{v_2}+\cos{v_1}\cos{v_2}\cos{(u_1-u_2)}) \]
$\blacksquare$

三面角的正弦定理

三面角的三个面角之间有类似于三角形的三边之间的大小关系，那咱们类比一下，三面角的三个面角相当于三角形的三条边，而它的三个二面角相当于三角形的三个内角，那么，在这种类比下，三角形的正弦定理是否可以照搬到三面角中呢，也就是下面的式子是否成立:
\[ \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\angle OA}} = \frac{\sin{\beta}}{\sin{\angle OB}} = \frac{\sin{\gamma}}{\sin{\angle OC}} \]
这里的 $\angle OA$、$\angle OB$、$\angle OC$分别指代三条射线处的二面角。

在上一小节我们已经用余弦公式刻画了三面角的二面角是如何由它的三个面角决定的，利用它可以直接写出(注意为了方便，颠倒了一下分子分母)
\begin{eqnarray*}
  \frac{\sin^{2}{\theta}}{\sin^2{\gamma}} & = & \frac{1}{\sin^2{\gamma}} \cdot \left( 1-\frac{(\cos{\gamma}-\cos{\alpha}\cos{\beta})^2}{\sin^2{\alpha}\sin^2{\beta}} \right) \\
  & = & \frac{\sin^2{\alpha}\sin^2{\beta}-\cos^2{\gamma}-\cos^2{\alpha}\cos^2{\beta}+2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}}{\sin^2{\alpha}\sin^2{\beta}\sin^2{\gamma}}
\end{eqnarray*}
到了这里，可以想见，分母以及分子的后半部分已经成为轮换对称式，如果分子的前半部分也能写成关于 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 的轮换对称式，那么大功就告成了，事实也确实如此:
\begin{eqnarray*}
  && \sin^2{\alpha}\sin^2{\beta}-\cos^2{\gamma}-\cos^2{\alpha}\cos^2{\beta} \\
  & = & (1-\cos^2{\alpha})(1-\cos^2{\beta})-\cos^2{\gamma}-\cos^2{\alpha}\cos^2{\beta} \\
   & = & 1-\cos^2{\alpha}-\cos^2{\beta}-\cos^2{\gamma}
\end{eqnarray*}
这就证实了前面的正弦连等式是成立的，仿照三角形，那式子我们就称为三面角的 正弦定理，而且还知道了连等式的值:
\begin{eqnarray*}
  && \frac{\sin{\alpha}}{\sin{\angle OA}} = \frac{\sin{\beta}}{\sin{\angle OB}} = \frac{\sin{\gamma}}{\sin{\angle OC}} \\
  & = & \frac{\sin{\alpha}\sin{\beta}\sin{\gamma}}{\sqrt{1-\cos^2{\alpha}-\cos^2{\beta}-\cos^2{\gamma}+2\cos{\alpha}\cos{\beta}\cos{\gamma}}}
\end{eqnarray*}