两道含$e^x,lnx$的不等式

力工

(1)证明：若$x>0$,则$.e^x+7(x-2)^2>6$.
(2)证明:$e^x-\dfrac{x^3}{3}lnx-2x>0$.

realnumber

（1）只需要证明$e^x\ge e^2(1+(x-2))$,即$e^x$在x=2处的泰勒展开(保留2项)，
而在x=0处展开要保留到这样$e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}$,几何画板试的，后者也不敢去笔算.
(2)当0<x<1时，$e^x\ge 1+x,\ln{x}<0$不等式显然成立,
当$x\ge1$时,函数从图像上看是增函数，
此时记$f(x)=e^x-\frac{x^3\ln{x}}{3}-2x,x\ge1$,$f(1)>0$
$f'(x)=e^x-\frac{3x^2\ln{x}+x^2}{3}-2\ge 0,x\ge 1$,这个待证.
$f'(1)>0$只需要证明$f''(x)>0$
即只需要证明$e^x>2x\ln{x}+\frac{5x}{3},x\ge1$，暂不想做了，尽管图像看是成立的.

色k

回复 2# realnumber

第一个 $e^x\ge e^2(1+(x-2))$ 并不够，要再保留多两项才够。

色k

（1）令 $u=e^x$，不等式化为 $u+7(\ln u-2)^2>6$，当 $u\ge6$ 时显然成立，当 $0<u<6$ 时由于 $\ln6<2$，故不等式等价于 $\sqrt7(2-\ln u)-\sqrt{6-u}>0$，求导可得当 $u=2\sqrt{91}-14$ 时左边最小，代入化简即证 $3-\sqrt{13/7}-\ln(2\sqrt{91}-14)>0$，按计算器之

realnumber

回复 3# 色k


    恩，得再多一项$e^x\ge e^2(1+(x-2)+0.5(x-2)^2)$---错了，见楼下

色k

回复 5# realnumber

这样就反了

战巡

回复 5# realnumber


这个是证不出来的，只有$x\ge 2$时成立，因为余项是一个三次的东西，并非恒正

还得多一项

战巡

回复 1# 力工


其实这种问题有什么意思呢？不就一个超越方程解不出来么？
强行解出来不就完了？

比如第一题
\[f(x)=e^x+7(x-2)^2-6\]
\[f'(x)=e^x+14(x-2)=0\]
易证$f'(x)=0$只有一个解，令其为$x_0$，有
\[f(x_0)=7(x_0-2)^2-14(x_0-2)-6=7(x_0-3)^2-13\]
其在$x_0<3$时递减，而且可以解出只要$x_0<\frac{1}{7}(21-\sqrt{91})\approx 1.6372$即有整个为正
然后解出$x_0$就可以啦，怎么解？牛顿切线啊！

初值$x[0]=1$好了，有
\[x[n+1]=x[n]-\frac{f'(x[n])}{f''(x[n])}=x[n]-\frac{e^{x[n]}+14(x[n]-2)}{e^{x[n]}+14}\]
第一次迭代，有
\[x[1]=\frac{28}{14+e}\approx 1.6748\]
根据牛顿法可知其有效数字只到$1.6$
第二次迭代，有
\[x[2]=\frac{14-e}{14+e}+\frac{196+42e}{(14-e)(14+e^{\frac{28}{14+e}})}\approx 1.6342\]
有效数位$1.63$
第三次迭代
\[x[3]\approx 1.63398\]
有效数位$1.6339<1.6372$
故原式成立

战巡

回复 1# 力工


第二题更简单，因为这个函数的最小值实际上和零差的很多
\[f(x)=e^x-\frac{x^3}{3}\ln(x)-2x\]
\[f'(x)=e^x-\frac{x^2}{3}-x^2\ln(x)-2\]  
令初值$x[0]=1$好了
第一次迭代有
\[x[1]=\frac{2}{3e-5}\approx 0.634\]
有效数位只有$0.6$
第二次迭代
\[x[2]\approx 0.6807\]
有效数位$0.68$
第三次迭代
\[x[3]\approx 0.681411\]
有效数位$0.6814$
这个已经够精确的了，带进去$f(x[3])\approx 0.654$，比0大多了

kuing

回复 10# 战巡

由于楼主经常抄错题，所以当我发现第二题最小值和零差很多之后就直接略过了……

力工

回复 11# kuing
色k ,神！谢谢！太强悍了。
汗啊，

isee

回复  力工


其实这种问题有什么意思呢？不就一个超越方程解不出来么？
强行解出来不就完了？

比如第一 ...
战巡 发表于 2017-5-6 02:24

这里$\frac{f'(x[n])}{f''(x[n])}$为什么是一阶比二阶？我平常见到的是$\frac{f(x[n])}{f'(x[n])}$ 原 比一阶。

kuing

回复 14# isee

因为现在是求 $f'(x)=0$ 的根。

isee

回复  isee

因为现在是求 $f'(x)=0$ 的根。
kuing 发表于 2017-5-7 13:41

我看得真不细心。。。。

游客

第一题：只要证明曲线 $y=e^x$ 在 $x=m(m>0)$ 处的切线 $y-e^m=e^m(x-m)$ 在抛物线 $y=6-7(x-2)^2$ 的上方。
即证：存在 $m>0$ ，方程 $e^m(x-m)+e^m=6-7(x-2)^2$ 无解。
即证：存在 $m>0, \Delta=\left(e^m-28\right)^2-28\left(e^m-m e^m+22\right)<0$ 。
即证：函数 $f(x)=e^{2 x}+28(x-3) e^x+168(x>0)$
的最小值小于 0 。
\[
\text{令 } f'(x)=2 e^{2 x}+28(x-2) e^x=e^x\left[2 e^x+28(x-2)\right]=0,
\]
则：$e^x+14(x-2)=0(x>0)$。
因为函数 $y=e^{x}+14(x-2)$ 递增，所以
\[
\begin{aligned}
& \text { 当 } e^m+14(m-2)=0 \text { 时, } \\
& f_{\min }(x)=f(m)=e^{2 m}+28(m-3) e^m+168 \\
& \\
& =(14 m-28)^2-28(m-3)(14 m-28)+168<0 .
\end{aligned}
\]

kuing

回复 17# 游客

最后那行为何小于0？

游客

回复 18# kuing

哈哈，伪证，就在这里，但是，只要题目没错，这个关系就不会错。

isee

回复 19# 游客


    原来游客也有一本正经说笑时啊。。

kuing

17#继续写下去的话，要证后面那式子小于零，只需证 $m < \frac17(21 - \sqrt{91})$，和9#一样，而如果不用9#的牛顿切线的话，搞下去也会变成证4#后面那个 $3-\sqrt{13/7}-\ln(2\sqrt{91}-14)>0$……

huyongji

构造 $f(x)=\frac{e^x}{x^{\frac{3}{2}}}, g(x)=\frac{6-7(x-2)^2}{x^{\frac{3}{2}}}$
\[
f(x)_\min>g(x)_\max
\]