需证 $2x^3-3x^2-3\ln x+11>(3-x)e^x$

isee

原题如下图所示，求助第（2）问，考场上可用的方法。

我个人采用变形化简，可得到 需证 $2x^3-3x^2-3\ln x+11>(3-x)e^x$。

不等式右端容易证明小于8，
于是原题等价于 $x>0,2x^3-3x^2-3\ln x+3>0$，
左边求导可证，在$x>0$的条件下，先增后减，
估计导函数的零点在$(1,3/2)$之间，……，最后等价证$$\frac 74-\ln \frac {27}8>0,$$这用计算器可得是命题成立。

可是在考场上，此法行不通。

请教。

isee

$x>0,2x^3-3x^2-3\ln x+3>0$，其中，$\ln x$带来计算的不便，尝试利用 $\ln x <x-1$,便需要证明$x>0,2x^3-3x^2-3\ln x+3>2x^3-3x^2-3x+6>0$。

先借助GGB看看：





我叩，切线代替竟然可以！

isee

当然，类同此帖 forum.php?mod=viewthread&tid=4577的办法，非考场上，慢慢算，总是可行的。

isee

原题如下图所示，求助第（2）问，考场上可用的方法。

我个人采用变形化简，可得到 需证 $2x^3-3x^2-3\ln x ...
isee 发表于 2017-5-31 17:37

哦喔~，按请教：如何证明这个不等式？中7楼 提供的 展开式\ln\frac {1+t}{1-t}=2\left(t+\frac {t^3}3+\frac {t^5}5+\cdots\right),-1<t<1.

也可以解决这个不等式是否成立的问题\frac 74-\ln \frac {27}8>0


令t=-\dfrac {19}{35}，右边只需保留一项，即有\ln\frac {8}{27}<2\cdot \left(-\frac {19}{35}\right)=-\frac {38}{35}>-\frac 74.

方向反了，还得修正。。。。。。。。

isee

还是将$\frac 74-\ln \frac {27}8>0$化回“原形”（即带指数形式）$$\frac 74-3\ln \frac {3}2>0\iff \frac 7{12}>\ln \frac {3}2.$$

此时显然$\frac 7{12}>\frac 12$，看看$\frac 12>\ln \frac 32$是否成立，哈，反而此式是显然成立的，至此解决。

看来$\frac 74-\ln \frac {27}8>0$是相当宽松的。