请教：如何证明这个不等式？

lemondian

$2-\sqrt{\mathrm{e}}<\ln \frac{3}{2}$

kuing

因 $x>0$ 时 $e^x>1+x+x^2/2$ 且 $\ln(1+x)>x-x^2/2$，相加得 $e^x+\ln(1+x)>1+2x$，令 $x=1/2$ 即得。

PS、竟然是图片。

isee

因 $x>0$ 时 $e^x>1+x+x^2/2$ 且 $\ln(1+x)>x-x^2/2$，相加得 $e^x+\ln(1+x)>1+2x$，令 $x=1/2$ 即得。

PS ...
kuing 发表于 2017-6-4 08:52

    所以普及LaTeX数学公式是多么刻不容缓。

lemondian

回复 3# isee


    不好意思，新手来的，还在学习中。。。

lemondian

回复 2# kuing


    非常感谢！kuing的函数不等式好N呀
我试着用泰勒展开式来做，不知是否可行？

kuing

回复 5# lemondian

上面那两个式子就是由泰勒来的啊

lemondian

回复 6# kuing

我指这个\[
\ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right)=2\left(t+\frac{t^3}{3}+\frac{t^5}{5}+\cdots\right)(-1<t<1)
\]令t=1/5,感觉是可以的。

isee

因 $x>0$ 时 $e^x>1+x+x^2/2$ 且 $\ln(1+x)>x-x^2/2$，相加得 $e^x+\ln(1+x)>1+2x$，令 $x=1/2$ 即得。

PS ...
kuing 发表于 2017-6-4 08:52

这么都能构造出来，，牛X

kuing

回复 7# lemondian

用这个当然可行，这个展开式是很强的，只要保留一次项再令 $t=1/5$ 即得 $\ln(3/2)>2/5$，误差只有 0.005 几，
而上面的 $\ln(1+x)>x-x^2/2$ 只得到 $\ln(3/2)>3/8$，弱多了。

lemondian

回复 9# kuing


    对头，谢谢！
用来估值倒真心不错的

isee

回复  kuing

我指这个
令t=1/5,感觉是可以的。
lemondian 发表于 2017-6-4 10:21

请问 $$\ln\frac {1+t}{1-t}=2\left(t+\frac {t^3}3+\frac {t^5}5+\cdots\right),-1<t<1.$$
这个展开式大约在《数学分析》哪一节，我翻了近一小时电子（华东师大版）硬是没找到具体推导！

kuing

回复 11# isee

对 $\ln(1+x)$ 的展开式代入 $t$ 和 $-t$ 再相减即得。

lemondian

回复 11# isee


    #12正解

isee

回复  isee

对 $\ln(1+x)$ 的展开式代入 $t$ 和 $-t$ 再相减即得。
kuing 发表于 2017-6-4 12:13

kuing

回复 11# isee

书上的话，可能会在无穷级数相关内容里面有

isee

回复  isee

书上的话，可能会在无穷级数相关内容里面有
kuing 发表于 2017-6-4 12:28

    数学分析（华师大版） 下册幂级数中的一部分。