证明位于空心球壳内的质点受到的球壳引力为零

TSC999

有一个空心球壳，球壳均质，总质量为 M。另有一个质量为 m 的质点位于球壳内部，位置可在任何地方，不一定在球心。

证明：此质点受到的球壳的万有引力之和恒为零。

zhcosin

感觉结论可能并不成立，设想这个球的半径无限大，那么内部的质点所面对的无异于一面无限大的墙壁，这咋可能为零呢。

kuing

回复 2# zhcosin

但是后面也有无限大的墙壁呢，虽然无穷远，但这质量的无穷大比前面的无穷大更高阶，是可能抵消掉的。

事实上，结论是成立的，是很经典的结论，只不过严格证明我不清楚，得问下专业人士。

如果不太严格地说，可以在球面任取一小块区域，让其边界与质点相连并延长至与球面相交，形成另一块区域，那么这两块区域大致相似，设它们到质点的距离之比大致为 $d_1:d_2$，那么它们的相似比也大致为 $d_1:d_2$，于是其质量比大致为 $d_1^2:d_2^2$，根据万有引力公式，两区域对质点的引力大小大致相等，而方向相反，所以就大致抵消了。

zhcosin

照这思路，应该进行曲面积分就可以，积分小白只能搬出伟大的《微积分学教程》（第三卷）了

abababa

其实就是高斯定理，平方反比的都能适用，因为均匀球体的引力场（电场）的强度是0，里面的引力（库伦力）就全是0。

TSC999

牛顿当年写过一本举世闻名的书 《自然哲学的数学原理》，但是他推迟了两三年才正式发表，原因就是与此有关的一些问题他还没有弄清楚。
当然，最终牛顿解决了这个问题，并发表了他的上述著作。

电学中的高斯定理，跟这个还是有区别的。例如，把一个带电体放到一个正方形的带电空心金属盒中，该带电体受到的盒子的静电力为零。但是，这个带电体受到盒子的万有引力却不等于零。你若不信，那好，用铁锤把金属盒砸扁，高思定理仍起作用，盒子中的带电体与盒子间的静电力仍为零，但万有引力却一定会变化的。

战巡

回复 1# TSC999


随便一本普物教材都有，就是高斯定理

除了这个结论还有一些类似结论，包括
1、天体内部的点所受引力仅等于以其到球心为半径的那部分质量提供的引力
2、不管天体多大，在天体外的任意一点所受天体引力等价于天体全部质量集中在质心的引力

TSC999

照这思路，应该进行曲面积分就可以，积分小白只能搬出伟大的《微积分学教程》（第三卷）了

...
zhcosin 发表于 2017-6-1 16:58

经典！与我得到的结果相同。最有趣的地方就是 a=R 质点正好在球面上的情况。这时候引力突变，不连续了！

TSC999

先说说我的计算结果吧。见下图：

为了计算引力，先建立坐标系如图。将半球面的球心放在坐标原点上，顶点 $ A $ 朝左，底面在 $ YOZ $平面内。假定球面的半径为$ R=1 $ ，则半球面的方程为：
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~  x^2+y^2+z^2=1 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1) $
我们的问题就是计算放在$ x $轴的一个质点，当它沿$ x $轴从左向右 (或从右向左) 移动时（我们可以想象自己乘一架飞机沿$ x $轴飞行，飞机相对于半球面小得可以看做是一个质点），它受到的半球面的引力将怎样变化，特别是在图中$ A $点处，引力是否连续。

假定质点的质量为 $ m $，球面的质量面密度为 $ μ $，我们要规定该质点受到球面引力的 “正方向”：当质点受到的引力方向沿 $ x $ 轴正向时，认为引力为 “正”，而与 $ x $ 方向相反时，认为引力为 “负”。
在动手计算之前，先让我们凭 “直觉” 定性地猜测引力曲线的大致形状吧。
        当质点位于正$ x $ 轴上、并且离坐标原点很远时，质点受半球面的吸引，方向沿负 $ x $ 轴，因此这时的引力是 “负”的；当质点位于负 $ x $ 轴上、并且离坐标原点很远时，质点受半球面的吸引，方向沿正 $ x $ 轴，这时的引力是 “正” 的。
现在的问题是，“正” 曲线与 “负” 曲线如何交汇呢？有人认为，它们大概是在半球面的 “重心” 处交汇：在该点，质点受到的引力是零。定性地画出引力曲线如图 2 所示。这条想象中的引力曲线是连续的。
       然而，这条曲线画得并不正确。

下面让我们用积分方法定量地进行分析和计算，看引力曲线到底应该是什么样子。


在上面图 4 中的$ A $ 点，曲线不连续了，这一点的引力值等于左边那条曲线的右端点引力值与右边那条曲线的左端点引力值的算术平均值！

TSC999

由图 $ 4 $ 可见，对应于$ x $ 轴的任意一个点，引力都有其具体数值，在球面顶点$ A $，引力值不连续，$ A $ 点的引力等于 “左边” 和 “右边” 引力的平均值。
        根据图 4 结果，容易得出完整球面的引力曲线，如图 5 所示。质点位于球面内部任一点时，它受到的球面引力均为零。质点恰好放在球面上时，引力等于它离开球面 “一点点” 时的一半——在这里引力也是不连续的。
        我们注意到，既然球面内引力为零，如果球面有一定的厚度，变成西瓜皮样的 “球壳”，根据叠加原理，它里面的任何物体（不一定是质点）受到球壳的引力也将是零。
        对我们的地球而言，如果将它看成是一个实芯球体，我们沿地心方向打一个洞，然后进洞去“探险”，则越往下走，引力就会越小，因为我们背后的那部分 “球壳” 对我们的引力总和已相互抵消，只剩下地心到我们之间这部分 “球芯” 产生引力。等我们跑到地心处，引力将为零。
        如果我们的地球是空芯的，只有薄薄的一层壳，那会怎样呢？我们在地表打个井钻进去，就好象进入了太空一样——不再受到地球的引力，可以在地壳里面随意飘浮了。如果谁家的孩子不小心掉进这口井里，跌进 “空心地壳” 里面去了，那可不容易打捞了啊。

TSC999

4# 楼中引用的微积分教程的解答，结论当然是正确而又经典，但是用来自学却比较难以弄懂，连个曲线都没有画。我不是说这书写得不好： 书本上的东西要是都写成我上面帖子中那样，那书的厚度就要增加十倍了，即使能出版，价格也会增加十倍，谁买得起呀。

hbghlyj

第78页末:Gauss's flux theorem $$\oint\mathbf E\cdot\text d\mathbf a=\frac{Q_\text{encl}}{\epsilon_0}$$ if there is no enclosed charge, then we know there is no flux through the surface. (PSE) 1-cropped.pdf (753.76 KB, Downloads: 157)

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hbghlyj

12^#原来能显示
原因是去除单行script被去掉了
建议按照这个修改一下

hbghlyj

惠更斯与巴罗，牛顿与胡克：数学分析与突变理论的起步，从渐伸线到准晶体 [B.Ͷ.阿诺尔德] 第23页

考察由一无穷薄的球层包围的球内一点$P$ (图6), 以$P$
为顶点作一小的立体角,我们来证明,由这个立体角在此球层中所切割出的两块无穷小的体积,对置于$P$点物体的作用力互相平衡.这两个体积是无穷小的棱柱体(它们的母线自然是轻微发散的,但这个发散的量可以忽略,因为误差会是高阶无穷小),其体积可按公式$V=lS$来计算,其中$l$为侧边长,而$S$为截面的面积.但我们这个棱柱边长等于一对同心圆在一条直线所切割出来的长度,而截面积正比于到$P$的距离的平方.这样一来,这两个体积对在$P$点的物体的引力大小相等、方向相反.其他的引力也完全与此相同地相互平衡,所以全部力的合力为零. 图6 根据牛顿球层的引力