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kuing
Posted at 2017-6-9 15:25:36
继续，扩展一下4楼开头的结论，这些都是现场想现场推的，希望没啥大问题，以前都没玩过这类东西，高手莫见笑。
先再来一个引理：设 $a$, $b$, $m$, $n\inN^+$, $(m,n)=1$，若 $a^m=b^n$，则存在 $z\inN^+$ 使得 $a=z^n$, $b=z^m$。
证明：设 $a$, $b$ 的素数分解分别为 $a=2^{a_2}3^{a_3}5^{a_5}\cdots$, $b=2^{b_2}3^{b_3}5^{b_5}\cdots$，由 $a^m=b^n$ 及素数分解的唯一性可知 $ma_k=nb_k$, $k=2$, $3$, $5$, \ldots，又 $(m,n)=1$，则 $n\mid a_k$，所以存在 $z\inN^+$ 使得 $a=z^n$，代回去得 $b=z^m$，引理得证。
定理：设 $r$, $a\inQ^+$, $a\ne1$, $m\inZ$, $m\ne0$, $n\inN^+$, $(\abs m,n)=1$，若 $\log_ar=m/n$，则存在 $c\inQ^+$ 使得 $a=c^n$, $r=c^m$。
证明：只需证明 $m>0$ 的情形（因为 $m<0$ 时作置换 $r\to1/r$ 即得）。
令 $a=i/j$, $r=p/q$, $i$, $j$, $p$, $q\inN^+$, $(i,j)=(p,q)=1$，则由 $\log_ar=m/n$ 得
\[\frac pq=\sqrt[n]{\frac{i^m}{j^m}},\]
又是根据这帖2楼的引理得 $i^m=p^n$, $j^m=q^n$，再根据上述引理知存在 $z_1$, $z_2\inN^+$ 使 $i=z_1^n$, $p=z_1^m$, $j=z_2^n$, $q=z_2^m$，令 $c=z_1/z_2$，即得 $a=c^n$, $r=c^m$，定理得证。
推论：设 $a\inQ^+$ 且 $a$ 开二次方以上（含二次）都是无理数，如果 $r$ 和 $\log_a r$ 都为有理数，则 $\log_ar$ 必为整数。
4楼开头的结论就是此推论的特例。 |
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isee
Posted at 2017-6-8 00:15:02
