2017江苏14题

走走看看

回复 18# 游客


N点不满足条件吧。
lgx在(0,10]区间上，只有lg1、lg10对应有理数，其他都是无理数。
$但1、10不在D上，因此所求的交点只能是lgx与x-a的交点，与x^2无关。$

徒手画图，前8个交点容易确认，到了第9个时，也不会发生怀疑，因此误填9个应该不算过失，谁叫它们很像呢？

如果统一用代数来判定的话，可以设：
$f(x)=lgx-(x-a)，x∈[a,a+1)，a∈[1,9]，a∈N*，$
$f'(x)=\frac{1}{x}-1≤0，x=a=1时取等，$
$所以f(x)单调递减。$
$f(a)=lga≥0，a=1取等，$
$f(a+1)=lg(a+1)-1≤0，a=9时取等。$
$因此可以判断，a∈[1,8]时，在[a,a+1)上各有一个零点，$
$在a∈[9,10)上没有零点。$

色k

lgx在(0,10]区间上，只有lg1、lg10对应有理数，其他都是无理数。
走走看看 发表于 2017-11-10 12:35

这是错的

走走看看

回复 22# 色k

$形如lg10^\frac{1}{2}是有理数，这样说来，排除x^2理由不充分。$
我再看看4楼的解释。

色k

回复 23# 走走看看

4楼写了那么多就是在排除x^2，你们到底有没有看

isee

回复 24# 色k

不用介意， 好多只是在理解题意。。。。。

不用孤独。。。

走走看看

回复 25# isee


给一个中学生易理解的通俗解释：
$已知a∈N*，x∈[a,a+1)，求证x=a+\frac{n-1}{n}不是方程lgx=(x-a)^2的解。$
$证明：$
$假设lg(a+\frac{n-1}{n})为有理数，将其设为\frac{p}{q}，p，q是整数且互质，则有：$
$a+\frac{n-1}{n}=10^\frac{p}{q},$
$即 (a+\frac{n-1}{n})^q=10^p。$
$左边是分式的整数次幂，而右边是10的整数次幂，因此假设不成立，lg(a+\frac{n-1}{n})只能是无理数。$
$右边(x-a)^2=(\frac{n-1}{n})^2是有理数，所以命题成立。$

走走看看

回复 26# 走走看看

$其实，n=1，x=a=1时，lgx=（x-a）^2 是成立的。$