请教

81096570

$\int{\frac{e^x}{x}}dx$=

kuing

印象中是没初等表达式的吧

81096570

回复 2# kuing


    我就是不知道

abababa

回复 2# kuing

是的，这个没有初等函数的表示，网友还证明过这个，发上来：
假设积分结果能用初等函数表示，则由 Liouville 第三定理知其必为$R(x)e^x+C$，其中$R(x)$是有理函数而$C$是常数。求导有$\frac{1}{x}=R'(x)+R(x)e^x$，让$R(x)=\frac{P_1}{P_2}$其中$P_1,P_2$是互素多项式，代入得
\[P_2[\frac{1}{x}P_2-P_1'-P_1]=-P_1P_2'\]
即
\[P_2[P_2-xP_1'-xP_1]=-xP_1P_2'\]

假设$\deg(P_2) \ge 1$则其有$r$阶零点$c$，则$P_2'$有$r-1$阶零点$c$。当$c \neq 0$时左边有至少$r$阶零点$c$，但因为$\gcd(P_1,P_2) = 1$，所以$P_1(c) \neq 0$，因此右边有至多$r-1$阶零点$c$，矛盾。所以必有$c = 0$，于是$P_2 = x^rP_3$其中$P_3(0) \neq 0$，再代入得
\[P_3(x^rP_3-xP_1'-xP_1) = -P_1(xP_3'+rP_3)\]

$x = 0$是左边的至少一阶零点，但同样因为$\gcd(P_1,P_2) = 1$，因此$P_1(0) \neq 0$，所以$x = 0$不是右边的零点。于是必有$\deg(P_2) = 0$，不妨设$P_2 = 1$，代入有$1-xP_1'-xP_1 = 0$，即
\[xP_1'+xP_1 = 1\]
显然$\deg(xP_1) \ge 1 > 0 = \deg(1)$，矛盾。于是积分不能是初等函数。

其妙

还有几个椭圆积分，谁能介绍一下？

青青子衿

这个主贴的标题叫“非初等函数指数积分”应该更好一点吧？

hbghlyj

其妙 发表于 2017-8-15 11:54
还有几个椭圆积分，谁能介绍一下？

zhuanlan.zhihu.com/p/44144537

13年前的WolframAlpha结果:	现在的WolframAlpha结果:
	$$\int\frac1{\sqrt{1 + x^3}} dx = x \sideset{_2}{_1}{F}(1/3, 1/2, 4/3, -x^3) + \text{constant}$$

《微积分》【苏】菲赫金哥尔茨，在第二卷第八章第五节“椭圆积分”有详细的初等变换法。
椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数 $ f\, $的积分
$$ f(x)=\int _{c}^{x}R[t,{\sqrt[{}]{P(t)}}]\ dt\,\! $$
其中$ R\, $是其两个参数的有理函数，$ P\, $是一个无重根的$ 3\, $或$ 4\, $阶多项式，而$ c\, $是一个常数。
椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在$ P\, $有重根的时候，或者是$ R\, $,$ \left(x,y\right)\, $没有$ y\, $的奇数幂时。但是，通过适当的简化公式，每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。（也即，第一，第二，和第三类的椭圆积分）。

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上面的积分去掉根号变成一道简单题(有理函数积分都可以用初等函数表示出来):

例 6.2.13 求不定积分 $I=\int \frac{\mathrm{d} x}{1+x^3}$ 和 $J=\int \frac{x \mathrm{~d} x}{1+x^3}$.
解 由于
\begin{aligned}
I+J & =\int \frac{1+x}{1+x^3} \mathrm{~d} x=\int \frac{\mathrm{d} x}{1-x+x^2}=\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} \\
& =\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 x-1}{\sqrt{3}}+C, \\
I-J & =\int \frac{1-x}{1+x^3} \mathrm{~d} x=\int \frac{\mathrm{d} x}{1+x}-\int \frac{x^2 \mathrm{~d} x}{1+x^3} \\
& =\ln |1+x|-\frac{1}{3} \ln \left|1+x^3\right|+C,
\end{aligned}所以
\begin{aligned}
& I=\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 x-1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2} \ln |1+x|-\frac{1}{6} \ln \left|1+x^3\right|+C \\
& J=\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2 x-1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{2} \ln |1+x|+\frac{1}{6} \ln \left|1+x^3\right|+C
\end{aligned}