一个没见过的 Cauchy 恒等式

poorich

在徐利治《数学分析的方法及例题选讲 (修订版)》上第二章做到的，它放在 Jacobi 恒等式（124题）
\[\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{2n-1}z)(1+q^{2n-1}z^{-1})(1-q^{2n})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}z^n \quad (\abs{q}<1)\]
的后面，书上的 Cauchy 恒等式（131题）应该是写错了：
\[\prod_{n=1}^m (1+x^{2n-1}z)=1
+\sum_{n=1}^m\frac{(1-x^{2m})(1-x^{2m-2})\dotsm(1-x^{2m-2n+2})}{(1-x^{2})(1-x^{4})\dotsm(1-x^{2n})}.
\]
感觉少了和 $z$ 相关的什么。查了一下老的版本，是写作
\[
\prod_{n=1}^m (1+x^{2n-1}z)=1
+\sum_{n=1}^m\frac{(1-x^{2m})(1-x^{2m-2})\dotsm(1-x^{2m-2n+2})}{(1-x^{2})(1-x^{4})\dotsm(1-x^{2n})}x^{n^2}z^n.
\]
问问大家怎么证明？

zhcosin

修订版嘛，也没规定说只能把错的改对，不能把对的改错呀

青青子衿

Excursions in Classical Analysis: Pathways to Advanced Problem Solving and Undergraduate Research
Hongwei Chen
Mathematical Association of America, 2010年