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Pentagonal number theorem
第n个五边形数，$p_n$，由一个平方数和一个三角数组成。用符号表示我们有
$p_{n}=n^{2}+\frac{n}{2}(n-1)=\frac{n}{2}(3 n-1),\quad n=0,1,2,\cdots$
如果$n$是负数，这个公式也有意义，给出所谓的负五边形数$\frac{n}{2}(3 n-1),\quad n=0,-1,-2,\cdots$ 或 $\frac{n}{2}(3 n+1),\quad n=0,1,2,\cdots$
欧拉的五边形数定理是 $\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-x^{n}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n} x^{\frac{n}{2}(3 n-1)}$
例如，如果我们展开左边无限乘积的前两个因子，我们得到 $(1-x)\left(1-x^{2}\right)=1-x-x^{2}+x^{3}$
这的前三项与欧拉公式右边无限和的前三项相同。有关此公式的更多详细信息，请参见 Rademacher (1973)。
arxiv(欧拉论文的英文翻译)
将无限乘积 $(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)(1-x^6)…$ 展开成一个单一的级数
1. 通过设定 $s=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)…$ ，显然可以得出：\[ s=1-x-x^2(1-x)-x^3(1-x)(1-x^2)-x^4(1-x)(1-x^2)(1-x^3)-\textrm{ …} \] 从中可以得到一个无限级数，如果每一项都展开并简化生成的$x$的每个幂次项。现在，前两项 $1-x$ 已经展开，所有剩余项用字母 $A$ 表示，这样它就是 $s=1-x-A$，因此 \[ A=x^2(1-x)+x^3(1-x)(1-x^2)+x^4(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \textrm{ …} \]
2. 由于所有这些项都有共同因子 $1-x$，通过展开每一项，可以将级数表示为两部分，如下所示：\begin{align*} A=x^2+x^3(1-x^2)+x^4(1-x^2)(1-x^3)+x^5(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)+\textrm{ …}\\ -x^3-x^4(1-x^2)-x^5(1-x^2)(1-x^3)-x^6(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)+\textrm{ …} \end{align*} 然后将两部分中相同幂次的$x$项收集在一起，得到 $A$ 的表达式：$ A=x^2-x^5-x^7(1-x^2)-x^9(1-x^2)(1-x^3)-x^{11}(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)-\textrm{ …} $ 其中前两项 $x^2-x^5$ 已经展开，接下来的项依次为 $x^7,x^9,x^{11},x^{13},x^{15}$，幂次增加为二。
3. 现在，以类似的方式，我们设 \[ A=x^2-x^5-B, \] 这样它就是 \[ B=x^7(1-x^2)+x^9(1-x^2)(1-x^3)+x^{11}(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)+\textrm{ …} \] 由于所有项都有共同因子 $1-x^2$，通过展开所有项，级数可以分为两部分，如下所示：\begin{align*} B=x^7+x^9(1-x^3)+x^{11}(1-x^3)(1-x^4)+x^{13}(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)\textrm{ …}\\ -x^9-x^{11}(1-x^3)-x^{13}(1-x^3)(1-x^4)-x^{15}(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)\textrm{ …} \end{align*} 这里再次将具有相同$x$幂次的项配对收集在一起，得到：$$ B=x^7-x^{12}-x^{15}(1-x^3)-x^{18}(1-x^3)(1-x^4)-x^{21}(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5) -\textrm{ …}$$ 其中现在$x$的幂次增加为三。
4. 现在，像以前一样，取 $B=x^7-x^{12}-C$，所以 $ C=x^{15}(1-x^3)+x^{18}(1-x^3)(1-x^4)+x^{21}(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)+ \textrm{ …} $ 并通过展开每项的因子 $1-x^3$，它被分解成两部分；它将是 \begin{align*} C=x^{15}+x^{18}(1-x^4)+x^{21}(1-x^4)(1-x^5)+x^{24}(1-x^4)(1-x^5)(1-x^6)+ \textrm{ …}\\ -x^{18}-x^{21}(1-x^4)-x^{24}(1-x^4)(1-x^5)-x^{27}(1-x^4)(1-x^5)(1-x^6)- \textrm{ …} \end{align*} 像上一个例子一样，将所有相同的前导幂次项合并成一个，得到 $ C=x^{15}-x^{22}-x^{26}(1-x^4)-x^{30}(1-x^4)(1-x^5)-x^{34}(1-x^4)(1-x^5)(1-x^6) -\textrm{ …} $ 其中前导因子的幂次增加了四。
56. 设 $D=x^{26}-x^{35}-E$，所以它将是 $ E=x^{40}(1-x^5)+x^{45}(1-x^5)(1-x^6)+x^{50}(1-x^5)(1-x^6)(1-x^7)+\textrm{ …} $ 这被分解成两部分，结果如下 \begin{align*} E=x^{40}+x^{45}(1-x^6)+x^{50}(1-x^6)(1-x^7)+x^{55}(1-x^6)(1-x^7)(1-x^8) +\textrm{ …}\\ -x^{45}-x^{50}(1-x^6)-x^{55}(1-x^6)(1-x^7)-x^{60}(1-x^6)(1-x^7)(1-x^8)- \textrm{ …} \end{align*} 当然，通过将每对项合并，得到 $ E=x^{40}-x^{51}-x^{57}(1-x^6)-x^{63}(1-x^6)(1-x^7)-x^{69}(1-x^6)(1-x^7)(1-x^8)-\textrm{ …} $ 其中 $x$ 的幂次增加了六。
7. 按照这个规则，如果继续操作并将每个字母 $A,B,C,D$ 的值代入，我们将得到如下形式的级数：$S=1-x,-x^2+x^5,+x^7-x^{12},-x^{15}+x^{20},+x^{26}-x^{35},-x^{40}+x^{51},+\textrm{ …}$
因此，整个问题归结为一个级数，该级数定义为每个 $x$ 的幂次都比上一个大，并且显然符号在成对的正负之间交替。
8. 为了进一步探讨这个规则，我们将研究每个字母对应的数字是如何产生的。然后对于前几个字母，我们列出它们的第一个项，如下所示：\begin{array}{c|cccc}A=x^2(1-x) & 7=3+4= & 3+1+3= & 3+1+1+2 \\ B=x^{7}(1-x^2) & 15= 4+11= & 4+2+9= & 4+2+2+7 \\ C=x^{15}\left(1-x^{3}\right) & 26=5+21= & 5+3+18= & 5+3+3+15 \\ D=x^{26}\left(1-x^{4}\right) & 40=6+34= & 6+4+30= & 6+4+4+26 \\ E=x^{40}\left(1-x^{5}\right) & 57=7+50= & 7+5+45= & 7+5+5+40 \\ \cdots & \cdots\end{array}我们在字母 $A$ 的分解中看到，显然它是由 3+4 组成的，然后 4 是由 1+3 组成的，最后 3 是由 1+2 组成的，这给出了分解 $ 7=3+4=3+1+3=3+1+1+2. $ 此外，这种模式在后续的字母中也可以看到，其中数字依次为 2, 7, 15, 26, 40。
9. 由此可见，数字 2, 7, 15, 26, 40, 57, … 之间的差构成了一个等差数列，因此这些数字的一般项将是：$ 2+5(n-1)+\frac{3(n-1)(n-2)}{1\cdot 2}=\frac{3n^2+n}{2}. $ 还有一些在这些数字之前的数字，它们是 1, 5, 12, 22, 35, 51 对应于数字 1, 2, 3, 4, 5，可以看出，为了得到这些数字，从公式 $\frac{3n^2+n}{2}$ 中减去数字 $n$，所以它将是 $\frac{3n^2-n}{2}$.
10. 因此我们现在发现一个单一的级数已经形成，它等于给定的完整无限乘积 $ (1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)\textrm{ …}, $ 使用这个找到的级数，它将是: $ s=1-x^1-x^2+x^5+x^7-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-x^{35}-x^{40}+x^{51}+ \textrm{ …} $ 我们确信除了包含在这个通用公式 $\frac{3n^2+n}{2}$ 中的那些之外，不会出现其他的 $x$ 次方，并且如果 $n$ 是奇数，通过这种方法生成的两个项都将具有 $-$ 号，而如果它是偶数，它们将被看到具有 $+$ 号。 |
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青青子衿
发表于 2024-12-29 12:52
