整系数多项式

guanmo1

如图

kuing

1. 设 $x=1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 为整系数多项式 $p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ 的一个根，则 $d=$

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这代码 还真是非常不好输入喔，简直耗了我20秒才码了出来

kuing

显然 $p\bigl(1+\sqrt2+\sqrt3\bigr)$ 可展开整理为
\[p\bigl(1+\sqrt2+\sqrt3\bigr)=A+B\sqrt2+C\sqrt3+D\sqrt6,\]
其中 $A$, $B$, $C$, $D$ 为关于 $a$, $b$, $c$, $d$ 的整系数多项式，而它们都是整数，故此
\[p\bigl(1+\sqrt2+\sqrt3\bigr)=0 \iff A=B=C=D=0,\]
由此，同样有
\begin{align*}
p\bigl(1-\sqrt2+\sqrt3\bigr)&=A-B\sqrt2+C\sqrt3-D\sqrt6=0,\\
p\bigl(1+\sqrt2-\sqrt3\bigr)&=A+B\sqrt2-C\sqrt3-D\sqrt6=0,\\
p\bigl(1-\sqrt2-\sqrt3\bigr)&=A-B\sqrt2-C\sqrt3+D\sqrt6=0,
\end{align*}
所以 $p(x)$ 的四个根为 $x=1\pm\sqrt2\pm\sqrt3$。

guanmo1

回复 3# kuing

k神，题目要求求整数d的值啊。

kuing

回复 4# guanmo1

都知道四个根是什么了，难道你还不会算 a,b,c,d ？

isee

回复 5# kuing


    就像楼主不愿意用latex代码打公式一样……

guanmo1

回复 5# kuing


    好吧。

hejoseph

三个平方根的和好办，两次平方即可，由 $x=1+\sqrt2+\sqrt3$ 得
\[
\left(x-1\right)^2-\left(\sqrt2+\sqrt3\right)^2=0，
\]
整理得
\[
x^2-2x-4=2\sqrt6，
\]
两边平方得
\[
\left(x^2-2x-4\right)^2-\left(2\sqrt6\right)^2=0，
\]
整理得
\[
x^4-4x^3-4x^2+16x-8=0。
\]

isee

回复 9# hejoseph


    唉，思维僵化了，只知道这样处理一个根式的，哈哈

kuing

回复 9# hejoseph

这样做还得证明方程的唯一性啊

isee

回复 11# kuing

我来凑个热闹，嘿嘿，我处理$x=1-\sqrt 2$这样的的，从没想到惟一性，，，，，，，

hejoseph

回复 11# kuing
代数里有结论：最小多项式是唯一的。这个根的次数就是4次的，因此肯定是唯一的

abababa

回复 13# hejoseph

是的，网友也这样解答的，直接给出了最小多项式，首一且整除$f(x)$，就是和$f(x)$相等。不过对一般的$a+b\sqrt{c}+d\sqrt{e}$，或者$a+b\sqrt[3]{c}+d\sqrt[4]{e}$等等，对给定的这种数，应该怎么求最小多项式？

kuing

回复 13# hejoseph

好吧，俺也不太了解那些，那对于和俺一样不了解的来说，还是推荐3楼嘀解答

isee

回复 15# kuing

我估计也是近代代数学中的如同“共轭根”一样的支撑的基本定理。。。

hejoseph

回复 14# abababa
一般用结式消元，不过一般运算都是很麻烦的，例如 $x=1+\sqrt[3]2+\sqrt[5]3$，令 $a=\sqrt[3]2$，$b=\sqrt[5]3$，对两个多项式
\[
x-1-\sqrt[3]2-\sqrt[5]3，a^3-2，
\]
用结式消元消去 $a$，得
\[
x^3+(-3 b-3) x^2+\left(3 b^2+6 b+3\right) x-b^3-3 b^2-3 b-3，
\]
上面的多项式和多项式
\[
b^5-3
\]
用结式消元消去 $b$，得
\[
x^{15}-15 x^{14}+105 x^{13}-465 x^{12}+1485 x^{11}-3672 x^{10}+7335 x^9-12150 x^8+16335 x^7-15795 x^6+7398 x^5+2700 x^4-3375 x^3-3240 x^2+4860 x-1566
\]
这个就是最小多项式，除非一些特殊情况外（例如 $1+\sqrt2+\sqrt8$）一般这样求的就是最小多项式。

hejoseph

总之消元后得到的多项式如果是不可约的，就是最小多项式。如果可约的，最小多项式必定是其中某个不可约多项式因式。

abababa

回复 18# hejoseph

谢谢。这个具体的我还不懂，能不能在一个域里可约可能也不太好证明，特别是像前面那个15次的具体的多项式。

其妙

台湾洪孟白老师的解答：

色k

回复 20# 其妙

“必须是下列形式”难道不是整个解答最关键之处么，我整个3楼就是在证明这一点，这解答却直接一带而过，反而去写之后谁都会的纯计算