六道多项式与根的题目，来做做

其妙

最近本论坛流行多项式与根的题目，下面是六道题，欢迎解答（好像有2道本论坛已经解决了？还有无其他方法？）：

hejoseph

1、2、4、6题都很简单，3、5题是同类型的，也不是很难。后两题都做过了。

kuing

... 好像有2道本论坛已经解决了？ ...
其妙 发表于 2017-9-23 18:04

楼主的说法方式总是这样的，心里明明很清楚地知道，却只说“好像。。。”，虽然这并没什么问题，只不过给我的感觉有点奇怪。
那就让我来给链接吧：
题5：forum.php?mod=viewthread&tid=4850
题6：forum.php?mod=viewthread&tid=4866

其妙

回复 3# kuing

还有其他的题

hejoseph

第二题：令 $1/\alpha=t$，$1/\beta=t$，$1/\gamma=v$，则 $t$、$u$、$v$ 是方程 $x^3+2x^2+3x+4=0$ 的三个根，所以
\[
t+u+v=-2，tu+tv+uv=3，tuv=-4，
\]
令 $a_n=t^n+u^n+v^n$，则有
\[
a_{n+3}=-2a_{n+2}-3a_{n+1}-4a_n，
\]
取 $n=0$，则
\[
a_0=3，
\]
取 $n=1$，则
\[
a_1=t+u+v=-2，
\]
取 $n=2$，则
\[
a_2=t^2+u^2+v^2=(t+u+v)^2-2(tu+tv+uv)=-2，
\]
所以
\begin{align*}
&a_3=-2a_2-3a_1-4a_0=-2\times(-2)-3\times(-2)-4\times 3=-2，\\
&a_4=-2a_3-3a_2-4a_1=-2\times(-2)-3\times(-2)-4\times(-2)=18，\\
&a_5=-2a_4-3a_3-4a_2=-2\times 18-3\times(-2)-4\times(-2)=-22。
\end{align*}

hejoseph

第四题：$\alpha_k=\cos(2k\pi/(n+1))+\mathrm i\sin(2k\pi/(n+1))$，则
\[
\frac{1}{\alpha_k-1}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm i\cot\frac{k\pi}{n+1}，
\]
后面都容易，结果为 $-n/2$。

其他题目就不做了。

其妙

回复 6# hejoseph

游客

回复 6# hejoseph

第四题可以跟第一题一样的方法做。

isee

这都是台湾的题？很个性化。

hejoseph

回复 8# 游客
当然是可以的，我只是用了我觉得最简单的方法去做。

其妙

回复 8# 游客
“游客”高手又放大招了！再来一道：

hejoseph

回复 11# 其妙

两个根式和，其中一个是二次根式的都容易，都不是二次的就比较麻烦了

zhcosin

回复 11# 其妙
找一个是不难的，证明是次数最低的以及是这次数下唯一的（系数成比例的视为一个）才是难的。

带两个根号的是不难的，带三个甚至更多的根号才是难的。

abababa

回复 11# 其妙
发网友的证明：
考察$(x-\sqrt{2})^3-(\sqrt[3]{3})^3=0$，展开移项有$x^3+6x-3=(3x^2+2)\sqrt{2}$，平方即有$f(x)=x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1=0$，显然$f(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})=0$，因为$2,3$互素，因此最小多项式至少是$6$次，故$f(x)$就是最小多项式。

游客

zhcosin

回复 14# abababa
对你的网友很感兴趣，快说说，是何方神圣？

hejoseph

有二次的都不会太难，可以试试这个：$x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[5]{3}$

abababa

回复 17# hejoseph
发网友的解答：$A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 2\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 3\\
1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
\end{bmatrix}$
分别作$A,B$和$5,3$阶单位矩阵的张量积再求和，最后求此矩阵的特征多项式，这就是结果。
我用软件试了一下，确实是，结果是15次多项式。

abababa

回复 16# zhcosin
人教论坛的maven网友。

其妙

回复 18# abababa
这个15次多项式的答案是多少？