求线段$AD$的最大值(应试)

isee

在$\triangle ABC$中，$BC=3,\angle BAC=60^\circ$，$D$为$BC$边的三等分点，则$AD$的最大值为_______.

kuing

很简单啊，发出来有啥用意嘛？

isee

回复 2# kuing


    有难有易，咸淡皆需，嘿嘿。

游客

不过我想问：如果这个问题作为例题在课堂分析了，
然后角A为150度的条件下，求AD的最小值。
然后一群小伙伴都不会，你们会有什么感想？

敬畏数学

确实很多地方感兴趣这样的问题。楼上算OD的长度用向量法确实

isee

回复 4# 游客


    求$OD$，用相交弦定理。

isee

回复 4# 游客


    难度大啊，难题得自悟，讲或不讲，能写出来的，依然会写，写不出的，依然不会。

    其次，现在教材几何压缩得不成样子了，而课外的辅助机构呢，又不讲几何基础，讲大定理，或者超复杂题，用大炮打蚊子，学着学着就“变形”了

   不过，话说回来，如果的数学百花开，真不必在古老的几何上花太多的时间

isee

接4楼，如果用余弦定理来解，与这题的前一半是很像的
forum.php?mod=viewthread&tid=4840&extra=page=4

isee

解法1 源于游客，iC整理。

连接$OA$，$OD$，则$$AD\leqslant OA+OD=R+OD.$$

故$A$,$O$,$D$三点共线时，$AD$取得最大值。

此时，在$\triangle ABC$中，由正弦定理可得$$2R=\frac {AB}{\sin BAC}=\frac 3{\sqrt{3}/2}=2\sqrt {3}\Rightarrow R=\sqrt {3}.$$

在圆$O$中，点$D$对圆的幂(即相交弦定理，延长$AD$交圆$O$于点$E$，则$DE\cdot DA=BD\cdot DC$)为$$R^2-OD^2=BD\cdot DC=2\Rightarrow OD=1.$$

故$$AD_{\max}=R+OD=\sqrt{3}+1.$$

isee

解法2，源于游客，但可能并非游客本意，整理iC.

不防令$BD=1,DC=2,$记$AD=x$，则在$\triangle ABD$中有$$c^2=x^2+1-2x\cos ADB.$$
同理可得$$b^2=x^2+4-4x\cos(\pi-ADB)=x^2+4+4x\cos ADB.$$
由上两式消$\cos ADB$，整理得到$$x^2=\frac{2b^2}3+\frac{c^2}3-2.$$

另一方面，在$\triangle ABC$中，由余弦定理有$$9=b^2+c^2-bc\iff \left(b-\frac c2\right)^2+\frac {3c^2}4=9.$$
令$$b-\frac c2=3\cos \alpha,\frac {\sqrt {3}c}2=3\sin \alpha.$$
即$$b=3\cos \alpha+\sqrt {3}\sin \alpha,c=2\sqrt {3}\sin \alpha.$$

代入目标式，化简整理，有$$x^2=\frac{2b^2}3+\frac{c^2}3-2=\cdots=2\sqrt 3\sin2\alpha+4\leqslant 4+2\sqrt 3.$$

所以，$AD$最大值是$\sqrt 3+1$.

巧的是这个$\alpha$是可以求出来的，特殊角，不知道对应的几何意义是什么。。。。。。

isee

解法3，直接瞄准$AD$，利用向量来算其长。

继上图，容易有$$\vv {AD}=\frac 13\vv {AC}+\frac 23 \vv{AB}\Rightarrow AD^2=\frac {b^2+4c^2+2bc}9.$$

由解法2，知$$9=b^2+c^2-bc.$$

想到齐次式，于是$$AD^2=\frac {b^2+4c^2+2bc}{b^2+c^2-bc}=\frac {t^2+4+2t}{t^2+1-t},t=\frac bc>0.$$

而$$\frac {t^2+4+2t}{t^2+1-t}=1+\frac 3{t+1+\frac3{t+1}-3}.$$

下略.........

isee

解法4，建系

以$O$点坐标原点，平行$BC$边为$x$轴建立直角坐标系.

则圆$O$的方程为$$x^2+y^2=3.$$

由几何知识，易求得，点D到BC的距离为$\frac {\sqrt 3}2$，则$B$，$C$，$D$三点坐标可写出，再利用圆的参数方程，直接求$AD$即是，过程略。

isee

不等式方向如何解？

isee

回复 13# isee


是否可借鉴圆中的最大值，先汇总。

还有一个为实数的范围的，就在8楼链接

其妙

回复 1# isee
你这个是阉割了的题目吧？
原版在这里：一道三角形中的最大值问题的多解（求λ=sin∠ABD/sin∠BAD的最大值）