一道二次函数题

郝酒

若$f(x)=x^2+px+q$的图象经过两点$(\alpha,0),(\beta,0)$，且存在正整数$n$，使得$n<\alpha<\beta<n+1$成立则 (     )
A. $\min\{f(n),f(n+1)\}>\frac{1}{4}$         
B. $\min\{f(n),f(n+1)\}<\frac{1}{4}$
C. $\min\{f(n),f(n+1)\}=\frac{1}{4}$
D. $\min\{f(n),f(n+1)\}\geq\frac{1}{4}$

游客

根据对称轴位置分类讨论，二次函数最值基础题。
当α+β≥2n+1时,f(n)≥f(n+1)>0;
当α+β<2n+1时,f(n+1)>f(n)>0.
也可以从图形上去观察：
二次函数的二次项系数对应开口方向和大小，
一次项系数对应左右平移，常数项对应上下平移。
区间长度固定相当于抛物线的一段在抛物线上滑动。

kuing

forum.php?mod=viewthread&tid=4308

郝酒

回复 3# kuing

ku版，这个是最小值，感觉选不出来呢。另外这题有没有非选择题的做法？

kuing

回复 4# 郝酒

不好意思，没看仔细。
那就看这个：forum.php?mod=viewthread&tid=3965 平移后是一样的。

郝酒

回复 2# 游客
谢谢游客

走走看看

答案是B吧。

走走看看

回复 7# 走走看看 [/b]

可以这样做吧？再改一下。

敬畏数学

回复 8# 走走看看
没有懂！晕了。

敬畏数学

回复 2# 游客
这个做法直观，但下面继续视乎不太容易，请继续。。。。

游客

回复 10# 敬畏数学


    已经做完了呀。
当A、B关于对称轴对称的时候，它们相对于顶点的高度是1/4，
其他情况下，A、B中较低点相对于顶点的高度小于1/4，
因为函数有两零点，顶点就在X轴的下方。

走走看看

回复 9# 敬畏数学

用的是几何平均值小于等于算术平均值公式，但里面有两项显然不可能相等，故舍掉等号。
网上还有个参考答案，但平均值里面把ab调整成（-a）（-b）是错误的。
zybang.com/question/4bcbe9b71170e2cfe91af52e14d79ff5.html

敬畏数学

回复 11# 游客
按照你的思路。此类问题从抛物线的平移来解决，应该是简便些。因为
f(x)=x^2+px+q的图象经过g(x)=x^2平移而来，所以只需要研究f(x)=x^2在x∈[0,1]的情形即可，不妨将此f(x)=x^2的图像右移a个单位（0＜a＜1）时，得到h（x）=f(x-a)=（x-a）^2，x∈[0,1]，当0＜a＜1/2时，h(0)＜1/4,当a＞1/2时，h(1)＜1/4,当a=1/2时，h(1)=h(0)=1/4，综合上述，min{h（0），h（1）}≤1/4，下移时，此时h（x）（x∈[0,1]）有两不同的零点，min{h（0），h（1）}＜1/4，同理，将h（x）得图像左移右移，均有min{f（n），f（n+1）}＜1/4#

游客

回复 13# 敬畏数学


    是的，当二次项系数和区间长度确定时，区间中点离对称轴越近，两端函数值之差越小。这个结论用代数计算也不难证明，只是平时很少关注而已。

敬畏数学

回复 14# 游客
你的这几句话:二次函数的二次项系数对应开口方向和大小，
一次项系数对应左右平移，常数项对应上下平移。

kuing

回复 8# 走走看看
有问题，$n-\alpha$, $n-\beta$ 是负的，均值那里应该反过来，这样右边直接就是 1/4 了（即5楼的链接里的解法）

走走看看

回复 16# kuing
是的，我只看到别人的帽子带歪了，没想到自己也犯同样的错。

敬畏数学

以前论坛有个高手做过一道题：f(x)=ax^2-(1/2)x-3/4,(a＞0)，若任何长度为2的闭区间上存在两点x1，x2，使得|f(x1)-f(x2)|≥1/4成立，则a的最小值——————？类似方法解决。a≥1/4.

敬畏数学

回复 18# 敬畏数学
不妨假设f(x)=ax^2(a＞0) ,显然这个可以表示开口向上的首项系数为a的任意抛物线，则（1）若区间含原点,则由对称性,满足f(1)-f(0) ≥1/4即可==> a≥1/4；（2）若区间不含原点,由对称性，不妨假设在右边,则f（x）-f（x-2）≥1/4，x∈【2，+∞】恒成立=> a（x-1）≥1/16，则 a≥1/16  综上, a≥1/4#
最近发现流行这样的题，刚才又发现一道，注意多穿点衣服，有点冷，呵呵！身体NO1.