是否存在矩阵$A_{m×n}$与$B_{n×m}$使得$AB=E_m$且$BA=E_n$？

大一新生

是否存在矩阵$A_{m×n}$与$B_{n×m}$使得$AB=E_m$且$BA=E_n$？

热爱生命

当$m\neq n$时一定不存在，因为$\mathrm{tr}\,(\bm{AB})=\mathrm{tr}\,(\bm{BA})$，而$\mathrm{tr}\,(\bm{E}_m)\neq\mathrm{tr}\,(\bm{E_n})$。

大一新生

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感谢！

战巡

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你原版问题中的那种矩阵不一定存在，但下面这个一定存在

可以证明对任意$m\times n$矩阵$A$，存在矩阵$B_{n\times m}$使得$B$满足以下4个条件：
1、$ABA=A$
2、$BAB=B$
3、$(AB)^T=AB$
4、$(BA)^T=BA$
满足条件的这个$B$称为$A$的摩尔-彭若斯广义逆阵（Moore–Penrose pseudoinverse），一般记作$A^+$，对任意矩阵$A$都存在且唯一，当$A$为方阵且非奇异时$A^+=A^{-1}$

orzweb111

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The most slick answer ever, bravo.