平面向量一题，求$\vv{b}·\vv{c}$的最大值

realnumber

平面向量$\vv{a},\vv{b},\vv{c}$,满足$\abs{\vv{a}}=\abs{\vv{b}}=2$,若$(\vv{c}-0.5\vv{a})·(\vv{c}-\vv{b})=0$，求$\vv{b}·\vv{c}$的最大值.

hjfmhh

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谢谢，

isee

回复 2# hjfmhh

解 by hjfmhh 代码(摘取核心代码，非全部)如下

1. 设 $B(2\cos\theta,2\sin\theta)$, 圆心 $(\cos\theta+\frac 12,\sin\theta)$, 点 $C$ 的轨迹（方程为） $\left(x-\cos\theta-\frac 12\right)^2+(y-\sin\theta)^2=\frac{5-c\cos\theta}4.$
3. 令 $$\vv c =\left(\cos\theta+\frac 12+\frac{\sqrt{5-4\cos\theta}}2 \cos\varphi,\sin\theta+\frac{\sqrt{5-4\cos\theta}}2 \sin\varphi \right),$$
5. $$\vv b\cdot \vv c=\cdots=2+\cos\theta+\sqrt{5-4\cos\theta}\cos(\theta-\varphi)\leqslant 2+\cos\theta+\sqrt{5-4\cos\theta},$$
7. 令 $$\sqrt{5-4\cos\theta}=t\in [1,3],$$ 则 $$\cos\theta=\frac{5-t^2}4.$$
9. \begin{align*}
10. 2+\cos\theta+\sqrt{5-4\cos\theta}
11. &=2+\frac{5-t^2}4+t\\
12. &=-\frac 14(t-2)^2+\frac{17}4\\
13. &\leqslant \frac{17}4.
14. \end{align*}
16. 当且仅当 $$t=2,\cos\theta=\frac 14,\theta=\arccos\frac 14=\varphi$$ 时，达到了大值 $\frac{17}4$.

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效果如下显示：

设 $B(2\cos\theta,2\sin\theta)$, 圆心 $(\cos\theta+\frac 12,\sin\theta)$, 点 $C$ 的轨迹（方程为） $\left(x-\cos\theta-\frac 12\right)^2+(y-\sin\theta)^2=\frac{5-c\cos\theta}4.$

令 $$\vv c =\left(\cos\theta+\frac 12+\frac{\sqrt{5-4\cos\theta}}2 \cos\varphi,\sin\theta+\frac{\sqrt{5-4\cos\theta}}2 \sin\varphi \right),$$

$$\vv b\cdot \vv c=\cdots=2+\cos\theta+\sqrt{5-4\cos\theta}\cos(\theta-\varphi)\leqslant 2+\cos\theta+\sqrt{5-4\cos\theta},$$

令 $$\sqrt{5-4\cos\theta}=t\in [1,3],$$ 则 $$\cos\theta=\frac{5-t^2}4.$$

\begin{align*}
2+\cos\theta+\sqrt{5-4\cos\theta}
&=2+\frac{5-t^2}4+t\\
&=-\frac 14(t-2)^2+\frac{17}4\\
&\leqslant \frac{17}4.
\end{align*}

当且仅当 $$t=2,\cos\theta=\frac 14,\theta=\arccos\frac 14=\varphi$$ 时，达到了大值 $\frac{17}4$.

敬畏数学

算量够大。

乌贼

矩形$ BEDF, \vv b\cdot \vv c $的最大值$ C $点必在劣弧$ BF $中点取得。有\[  
\vv b\cdot \vv c_{max}=2\times [2+\dfrac{1}{2}(BD-BE)]=4+BD-BE=4+BD(1-cos\theta )=4+BD\times \dfrac{4BD-BD^2-3}{4BD}=4+\dfrac{1-(BD-2)^2}{4}\leqslant  \dfrac{17}{4}
\]取等略……

realnumber

如图1$\vv{OA}=0.5\vv{a},\vv{OB}=\vv{b},\vv{OC}=\vv{c}$经分析要使$\vv{b}·\vv{c}$取最大，C点在圆外，对固定的C点，且∠ACB为直角
B点越靠近直线OC，则$\vv{b}·\vv{c}$越大，如此取最大时有OA⊥AC（A是切点）.重新建立直角坐标系，见图2
如图中所设坐标,BO=2,$(t-1)^2+y^2=4$
$\vv{b}·\vv{c}=(-1,y)·(t-1,y)=-t^2+t+4\le 4.25$,在t=0.5时取最大.

kuing

给出装逼解法如下：注意到
\[\bm b\cdot\bm c=\bm b^2+\frac1{16}\bm a^2+\frac 12(2\bm c-\bm a)\cdot(\bm c-\bm b)-\left( \frac14\bm a+\bm b-\bm c \right)^2,\]代入已知条件，即得
\[\bm b\cdot\bm c=4+\frac14-\left( \frac14\bm a+\bm b-\bm c \right)^2\leqslant\frac{17}4,\]取等略。

PS1、这也说明条件不必限制为平面向量。
PS2、挖此旧帖是因为刚才在 zhihu.com/question/458990078 里看到此题而搜索到这里。