外心向量三角形面积最大

isee

单独提出这个第4题，设$O$是$\triangle ABC$的外心，满足$\vv{CO}=t\cdot\vv{CA}+\left(\frac 12-\frac  34t\right)\vv{CB},t\in \mathrm R$，若$AB=3$，则$\triangle ABC$的面积最大值为________.

注意这里人为限定 $t\ne 0$

2019年江苏省中学生数学夏令营测试卷，第4题。

原链接：forum.php?mod=viewthread&tid=6348&extra=page=2


以下讨论第第7#开始看，然后r再看2#，18#，23#，25#

本帖最后由 isee 于 2019-7-27 14:24 编辑  后，近一年后，发现23#，25#有新回复~~

isee

让我很奇怪的是，以下这种解法，到底错在哪里了

先将t向量式作恒等变形
\begin{align*}
\vv{CO}&=t\cdot\vv{CA}+\left(\frac 12-\frac  34t\right)\vv{CB},t\in \mathrm R\\
\iff 2\vv{CO}&=2t\cdot\vv{CA}+\left(1-\frac 32t\right)\vv{CB}\\
\iff \vv{CD}&=\frac 32t\cdot\left(\frac 43\vv{CA}\right)+\left(1-\frac 32t\right)\vv{CB}\\
\iff \vv{CD}&=\frac 32t\cdot\vv{CE}+\left(1-\frac 32t\right)\vv{CB}
\end{align*}

其中，点$D$与点$E$如图所示，$CO$交圆$O$于$D$，$CA/AE=3$.





于是，$E$，$D$，$B$三点共线，由于$AB=3$，当$AB$边上的高最大时，亦即$CA=CB$且$CD$为直径时，最后所求的数据不对（$k^2=2$，$S_{\triangle ABC}=\frac{9\sqrt 7}4$），就纳闷了

kuing

回复 2# isee

为什么一定是 CA=CB 时高最大？

isee

回复 3# kuing


$CA/AE=3$，点$C$在圆$O$上运动，则点$E$在与圆$O$外切的圆上运动，由任意性点$C$到$AB$的距离最大。

isee

回复 3# kuing


是了是了，没有考虑$C,O,D$三点共线！

2#需要推倒重来。。。

kuing

话说，当 t=0 时，只要 A 为直角就一定满足，那是不是没有最大值了……

kuing

首先用一下同乘向量法求系数表达式先。

设 $\vv{CO}=x\vv{CA}+y\vv{CB}$，则分别两边同乘 $\vv{CA}$ 和 $\vv{CB}$ 可得
\[\led
\frac12b^2&=xb^2+yab\cos C,\\
\frac12a^2&=xab\cos C+ya^2,
\endled\]解得
\[x=\frac{b-a\cos C}{2b\sin^2C}, y=\frac{a-b\cos C}{2a\sin^2C}.\]

回到原题，就有
\[\frac34\cdot\frac{b-a\cos C}{2b\sin^2C}+\frac{a-b\cos C}{2a\sin^2C}=\frac12,\]去分母并用 `\sin^2C=1-\cos^2C` 整理可得
\[3ab-(3a^2+4b^2)\cos C+4ab\cos^2C=0,\]恰好可以因式分解为
\[(b-a\cos C)(3a-4b\cos C)=0,\]故 `b=a\cos C` 或 `3a=4b\cos C`。

对于前者，就是楼上讲的 `A` 为直角，此时没最大值，命题者可能大意了，又或者是录入时打漏了 `t\ne0`？

对于后者，由射影定得 `3a=4b\cos C=4a-4c\cos B`，即 `a=4c\cos B`，于是如下图，`AD\perp BC`，则 `BD=c\cos B`，故应满足 `BC=4BD`，于是 $\S{ABC}=4\S{ABD}$，而 `D` 在以 `AB` 为直径的圆上，有 $\S{ABD}\leqslant(AB/2)^2=9/4$，从而 $\S{ABC}$ 的最大值为 `9`。

isee

回复 7# kuing

啧啧啧，服气

hejoseph

其实当 $x+y+z=1$ 时，若 $x\vv{PA}+y\vv{PB}+z\vv{PC}=\mathbf{0}$，那么就有
\begin{align*}
\vv{AP}&=y\vv{AB}+z\vv{AC}\\
\vv{BP}&=x\vv{BA}+z\vv{BC}\\
\vv{CP}&=x\vv{CA}+y\vv{CB}
\end{align*}
然后用 $x:y:z=S_{\triangle PBC}:S_{\triangle PCA}:S_{\triangle PAB}$ 就很容易得到后面的数量关系了。注意：这里的面积是有向面积。

isee

回复 9# hejoseph

正好思考到，$x+y+z=1$的情形！指明方向了。

我再去想想，此题中这个的比例系数如何定出来。。。

kuing

姆，昨晚青青子衿发的这帖 forum.php?mod=viewthread&tid=6360 的第二个式子看来才是命题者的意图，也就是用
\[
\vv{CO}=\frac{\tan B+\tan C}{2\sum\tan A}\vv{CA}+\frac{\tan C+\tan A}{2\sum\tan A}\vv{CB},
\]于是依题意有
\[\frac34\cdot\frac{\tan B+\tan C}{2\sum\tan A}+\frac{\tan C+\tan A}{2\sum\tan A}=\frac12,\]化简即
\[\tan B=3\tan C,\]这样就同样得到我上面那图的结论了。

然而用 tan 的前提就是不允许直角三角形，命题者却没想到 A 为直角也能符合，于是这也解释了为什么会漏掉 `t\ne0`。

isee

回复 10# isee

我终于明白何版的意思了。

两点：
一是那个$x+y+z=1$是个引理，用来破题中向量式的。
二是$\sin2A\cdot\vv{OA}+\sin2B\cdot\vv{OB}+\sin2C\cdot\vv{OC}=\bm 0$的几何意义。

这里想直接得到（面积的）比例系数似乎不可能。



其实主要是第二点，由条件$$\vv{CO}=t\cdot\vv{CA}+\left(\frac 12-\frac  34t\right)\vv{CB},t\in \mathrm R-\{0\}\iff t\vv{OC}+\left(\frac 12-\frac 34t\right)\vv{OB}+\left(\frac 12-\frac 14t\right)\vv{OC}=\bm 0,$$
于是$$\frac t{\sin 2A}=\frac{\dfrac 12-\dfrac 34t}{\sin 2B}=\frac{\dfrac 12-\dfrac 14t}{\sin 2C}=\frac 1{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C},$$
（将上式从左到右，分别叫，1式，2式，3式，4式，由1式=2式=4式）消 $t$ 整理化简可得
$$-\sin 2A+2\sin 2C=2\sin 2B\Rightarrow -\sin 2A=2\sin 2B-2\sin 2C=4\cos(B+C)\sin(B-C)=-4\cos A\sin(B-C),$$

此时当$\cos A=0$，$t=0$，所求无大值；当$\cos A\ne 0$时，$$\sin A=2\sin(B-C)=2\sin B\cos C-2\cos B\sin C\iff a=2b\cos C-2c\cos B，$$
再用第一余弦定理，便是$$3a=4b\cos C,$$
与7#楼结论相同。

从心理的感觉上来说，字母好像少一些，只是角的变换，但本质上并不容易，也没有多少简化的作用。

特别是kuing最值的处理，又到几何式，这个困难，按常理在$$9=a^2+b^2-2ab\cos C=a^2+b^2-2ab\frac {3a}{4b}=b^2-\frac 12a^2,$$条件下，求最大值$$S=\frac 12ab\sin C=\frac 12\sqrt{16\cdot \frac 1{16}a^2\left(9-\frac 1{16}a^2\right)}\leqslant 9.$$

等号验证……

hejoseph

回复 12# isee
既然你已得到
\[
\sin 2A\cdot\vv{OA}+\sin 2B\cdot\vv{OB}+\sin 2C\cdot\vv{OC}=\mathbf{0}
\]
那么就立即得到
\begin{align*}
x&=\frac{\sin 2A}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\\
y&=\frac{\sin 2B}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}\\
z&=\frac{\sin 2C}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}
\end{align*}
然后对应分量系数，就得到
\[
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\sin 2A}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}&=t\\
\frac{\sin 2B}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}&=\frac{1}{2}-\frac{3}{4}t
\end{aligned}
\right.
\]
后面不说了。

kuing

回复 13# hejoseph

嗯，我以前通常也是这样玩的，不过在随后的求解中往往还需要进行一些三角变换，而后来我发现对于外心的情形用同乘向量法得到的式子简单些，计算量往往也小些，所以就换了方向

isee

这样的解法下，这题并不容易。

isee

回复 13# hejoseph



多谢何版指点~

以下化简用11#，三角一致性证明在11#链接的6#。

把我以前都不想动笔的方向终于是全部动手了一回。

敬畏数学

回复 7# kuing
常规解法。

isee

回复 5# isee

2#的共线，结合kuing的最后的几何法，及解三角后的最终形状，反思了一下，接2#，将2#原直觉以为是$BC=CA$这个条件推翻。

本图接2#



过点$A$作$AF\perp BC$于$F$点，因$CD$是直径，则$AF\sslash BE$，从而$$\frac{CF}{FB}=\frac 31\iff S_{\triangle ABC}=4S_{\triangle ABF},$$
而$$AB=3,$$为定值，下同kuing在7#后三句，“有$\S{ABF}\leqslant(AB/2)^2=9/4$，从而 $S_{\triangle ABC}$的最大值为 9。"

取"="时，图形如下

敬畏数学

说实话，给命题人一建议，这种问题价值何在？几题拼一题。这么复杂运算。原本就是一简单问题。不要搞那么复杂点，简单点。

kuing

回复 18# isee

还是让你给救了回来
这样看起来这也是个很好的解法！