一份试卷的困惑 每道题都困惑

facebooker

希望大佬至少帮忙解答出一道。

kuing

第一题就是前天这帖：forum.php?mod=viewthread&tid=6343

Shiki

我是考生一半都做不完，后面还有四道解答
最后一题是不等式：forum.php?mod=viewthread&tid=6340&extra=page=1
这是老题了。。。至少我已见过两次

补一题数论：求所有的正整数$(x,y)$使得$(x+y^2)(x^2+y)$是一个素数的5次幂

facebooker

多谢 2个困惑解决了 哈哈 开心！~

isee

回复 1# facebooker

嘿，虽然这是竞赛卷。

第2题，
\begin{align*}
z^3+z=2\abs{z}^2&=2z\bar z\\[1em]
z^2+1&=2\bar z\\[1em]
z&=a+b\mathrm i,a,b\in\mathrm R,ab\ne 0\\[1em]
a^2-b^2+1+2ab\mathrm i &=2a+2b\mathrm i\\[1em]
\Rightarrow z&=1\pm 2\mathrm i
\end{align*}

facebooker

回复 5# isee

多谢 三道了 $|z|^2=z\overline{z}$没想到 看样子要加强基础了。。惭愧

kuing

第 7 题：
引理（嵌入不等式的等价形式之一）：
设 $D+E+F=k\pi$, $k\inZ$, $x$, $y$, $z\inR$，则有
\[(x+y+z)^2\geqslant4(yz\sin^2D+zx\sin^2E+xy\sin^2F),\]等号成立当且仅当 $x:y:z=\sin 2D:\sin 2E:\sin 2F$。

在引理中，令 `x=2\cot A`, `y=3\cot B`, `z=4\cot C` 得到
\[(2\cot A+3\cot B+4\cot C)^2\geqslant4(12\cot B\cot C\sin^2D+8\cot C\cot A\sin^2E+6\cot A\cot B\sin^2F),\] 于是令 `12\sin^2D=8\sin^2E=6\sin^2F`，结合 `\cos^2D+\cos^2E+\cos^2F+2\cos D\cos E\cos F=1`，得到一组解为 `\sin^2D=23/48`, `\sin^2E=23/32`, `\sin^2F=23/24`，代回去即得
\[(2\cot A+3\cot B+4\cot C)^2\geqslant23(\cot B\cot C+\cot C\cot A+\cot A\cot B)=23,\]易证 `2\cot A+3\cot B+4\cot C` 恒为正，所以 `2\cot A+3\cot B+4\cot C\geqslant\sqrt{23}`。

最后讨论取等条件，由引理，令 `2\cot A:3\cot B:4\cot C=1/48:1/32:1/24`，结合 `\cot B\cot C+\cot C\cot A+\cot A\cot B=1`，得 `\cot A=5/\sqrt{23}`, `\cot B=3/\sqrt{23}`, `\cot C=1/\sqrt{23}`。

isee

第3题，不妨设点$A$在第一象限。

记$PQ$交$OA$于$T$，$x=2$交$x$轴于$D$，则由$A$，$T$，$B$，$D$四点共圆，有$$OT(OT+TA)=OB\cdot OD=2.$$

另一方面，在圆$C$中$OA$为直径，$$OT\cdot TA=PT^2=\frac 32.$$

联立上两式解得$$OA=2\sqrt 2=2r，$$于是有等腰直角$$\triangle ODA,OD=DA\Rightarrow C(1,1),\cdots$$

isee

第6题，类似这个 forum.php?mod=viewthread&tid=6197&extra=page=1

其它题，看不上不那么容易“搞”~

kuing

回复 7# kuing

WoCao！写完才想起来，其实之前在这里 forum.php?mod=viewthread&tid=5534 就已经得到了能直接得出第 7 题答案的不等式了……

链接中的 2# 得出了如下结论：
对于任意实数 `x`, `y`, `z`, `a`, `b`, `c`，当 `2ab+2bc+2ca\geqslant a^2+b^2+c^2` 时，恒有
\[(ax+by+cz)^2\geqslant(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)(xy+yz+zx).\]
于是直接得出
\[(2\cot A+3\cot B+4\cot C)^2\geqslant23(\cot B\cot C+\cot C\cot A+\cot A\cot B)=23.\]

kuing

第 5 题，注意到置换 `(x,y)\to(y,-x)` 不改变条件，即曲线 `x/y+y/x=x^2-y^2` 绕原点旋转 $90\du$ 后是不变的，而所求式是到原点距离的平方，由此可见，只需考虑第一象限的情形即可，也就是可以不妨设 `x>y>0`。

待定 `a>2`，由均值，有
\begin{align*}
x^2+y^2&=xy(x^2-y^2)\\
&=\frac1{\sqrt{a^2-4}}\sqrt{(a-2)x^2(a+2)y^2(x^2-y^2)(x^2-y^2)}\\
&\leqslant\frac1{\sqrt{a^2-4}}\left( \frac{a(x^2+y^2)}4 \right)^2,
\end{align*}得到
\[x^2+y^2\geqslant\frac{16\sqrt{a^2-4}}{a^2},\]要取等即要满足 `(a-2)x^2=(a+2)y^2=x^2-y^2`，解得 `a^2=8`，代回去即 `x^2+y^2\geqslant4`，当 `x=\sqrt{2+\sqrt2}`, `y=\sqrt{2-\sqrt2}` 时取等。

kuing

不等式的都搞完了，其他的你们搞定咯

facebooker

回复 12# kuing

感觉你们都是命题组的卧底

敬畏数学

回复 11# kuing
提取x^2,此题其实简单。

敬畏数学

回复 10# kuing
其实初中题，判别式搞定。

敬畏数学

最后一题，高手如何搞定。请指点？似乎很复杂。。。。。

敬畏数学

欣赏第五题，不知如何给威望命题人。

kuing

回复 16# 敬畏数学

先不看奇数的，6 个偶数位，4 个学生坐，剩 2 个偶数空位。
（1）偶空相邻，有 6 种选择，学生坐下来 `4!`，此时家长有 5 种坐法；
（2）偶空隔一偶，也是有 6 种选择，学生坐下来 `4!`，此时家长有 `2\times4` 种坐法；
（3）偶空隔二偶（即打对面），只有 3 种选择，学生坐下来 `4!`，此时家长有 `3\times3` 种坐法。
综上就是 `4!\times(6\times5+6\times2\times4+3\times3\times3)=2520`。

敬畏数学

回复 18# kuing
牛！懒一下就做不出。