2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛初赛A卷试题及解析

isee

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isee

呃，没有 不等式 ～…～ 哦，好像是有的，最后一题

lemondian

B卷有的

kuing

回复 3# lemondian

这个还算简单
先蒙取等，如果全相等，那结果未免太难看，又看到变量范围的左边是中括号，暗示取等时有 0，有几个？应该是两个，因为这时有最简洁的：0011，基本可以肯定是它了。
然后凑个值也很容易：
\[\frac a{\sqrt{2-a^4}}=\frac{a^3}{\sqrt{a^4(2-a^4)}}\geqslant\frac{a^3}{\frac{a^4+2-a^4}2}=a^3,\]……
其实直接从结构上思考出上面的过程也不难，并不需要先蒙，只不过我是蒙惯了……

力工

陈计教授把这个不等式进行了推广：
已知$0\leqslant a,b,c,d\leqslant \sqrt[4]{2},a^p+b^p+c^p+d^p=2$，证明：当$3\leqslant p\leqslant 5$时，$\dfrac{a}{\sqrt{2-a^4}}+\dfrac{b}{\sqrt{2-b^4}}+\dfrac{c}{\sqrt{2-c^4}}+\dfrac{d}{\sqrt{2-d^4}}\geqslant 2$.

lemondian

回复 5# 力工 这个
这个有证明过程吗？

kuing

回复 5# 力工

那恐怕得出动半凹半凸定理啥的了……