2018江苏数学高考第13题

realnumber

2018江苏数学高考第13题.
在三角形ABC中,三边依次a,b,c,其中∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于D,BD=1,则4a+c的最小值是______.










答案是9，已知条件写到这步解不下去了,硬扛？
\[ \sqrt{a^2+c^2+ac}=\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{c^2-c+1}\]
角平分线定理\[\frac{\sqrt{a^2-a+1}}{a}=\frac{\sqrt{c^2-c+1}}{c}\]
得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=1$这样就可以了.学生：角平分线定理初中没学过 .

爪机专用

让我写的话，直接用张角定理了。

Shiki

我的方法是以B为原点，任一邻边为x轴建系.D的坐标容易表示，计算量不大

isee

回复 2# 爪机专用

+1
绝对的，或者换句话说：在顶点B处的三个三角形，用面积建立等式。

isee

解三角形后期，会用面积代替线段比（如，角平分线定理），用面积得到张角定理并告之，直接用（如，楼主这题，四点调和），面积观点下显然的，然后横向到平面向量三线共顶点的情形。
对平面几何有兴趣的，会提供 Ptolemy定理、Stewart定理的等价性材料（自学），由此将三角形中的中线，角分线，（高线），一一推演出。

realnumber

张角定理，指的是在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD
百度了下，果然直接，也才知道，$S_{ΔBAD}+S_{ΔBCD}=S_{ΔABC}$

kuing

回复 6# realnumber

这个有必要了解，挺有用的。

PS、三角形面积在本论坛有自定义代码，用 \S{ABC} 即可得 $\S{ABC}$。

lemondian

回复 1# realnumber
此题方法较多。还可以用下面的平几方法来弄

realnumber

谢谢，lemondian，

isee

5#加了个附件，我个人的整理，绝大部分是自己写的，但受沈文选的奥赛经典影响，参考了彭翕成从初等数学到高等数学，可能有部分可能与网上相同，若是，纯是偶然。

移动版，图较多，就直接上附件了，主要内容是介绍了张角定理，斯特瓦尔特定理，托勒密定理，以及三者的等价性。
其中张角定理与托勒密定理等价于同一个三角恒等式，有些不自然。
不过，从另外两者之间的关系，其实已然证明了等价性。

本想弄个应用再丢上来的，看来，应用是不太可能了，哈哈。
由于断个电，可能有小错误。

isee

哦，小短文由LaTex编辑，没有word版

realnumber

∠AOB=120°，其平分线OC上一点M，$\abs{OM}=1$,过M一直线交OA,OB于P,Q,求最小值$\abs{OP}+2\abs{OQ}$的最小值.